上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第二章 离散型随机变量 2.3 随机变量函数的分布列

§2.3随机变量函数的分布列 在实际问题中，不仅要研究随机变量，往往还要研究随机变量的函数例如某剧院每场演出 所售出的门票数是一个随机变量，而票房的收入就是售出门票数的函数：又如在分子物理学中 亿知分子的速度v是一个随机变这时分子的动能=)m也是一个随机变量v的一个函 数下面讨论一个实际例子. 例2.10进口某种货物n件，每件价值a元按合同规定，如果在v件货物中发现一件不合 格品，则出口方应赔偿2元易知，n件货物中的不全格的件数5是一个随机变量，而出口方应 赔偿的钱数7=2a5又是一个随机变量如果每件货物可能为不合格品的概率是p,则由§2.1 P(=k)=b(k:n.p) [pg0sk≤n L 其中q1-p,这是一个二项分布.因为每出现k件不合格品即当k时，赔款数就是2k,即 n=2ak:反过来，如果赔款数为2ak,则不合格品数一定为k.所以事件5=k等价于事件刀=2k 也就是 (n=2ak)=(5=k),0≤k≤n 从而 P0=2a)=[7 pgosksn 于是刀的分布列由5的分布列所完全决定对一般情形，若5是一个离散型随机变量，x)是实 变量×的单值函数，则当5只取有限个或可列个值，刀=)也只取有限个或可列个值，如果刀 的可能取值为b,=1,2,),令 B={a,:f(a,)=b} 则有 (=b)=(5eB) 于是 P(n-b,)-P(E∈B) =P5=a,i=l2,… (2.20) 所以门的分布列由5的分布列完全确定

§ 2.3 随机变量函数的分布列 在实际问题中,不仅要研究随机变量,往往还要研究随机变量的函数.例如某剧院每场演出 所售出的门票数是一个随机变量,而票房的收入就是售出门票数的函数;又如在分子物理学中, 忆知分子的速度 v 是一个随机变,这时分子的动能 2 2 1 w = mv 也是一个随机变量 v 的一个函 数.下面讨论一个实际例子. 例 2.10 进口某种货物 n 件,每件价值 a 元,按合同规定,如果在 v 件货物中发现一件不合 格品,则出口方应赔偿 2a 元.易知,n 件货物中的不全格的件数  是一个随机变量,而出口方应 赔偿的钱数  =2a  又是一个随机变量.如果每件货物可能为不合格品的概率是 p,则由§2.1 知 P q k n k n P k b k n p k n k         = = = − ( ) ( ; , ) ,0 其中 q=1-p,这是一个二项分布.因为每出现 k 件不合格品即当  =k 时,赔款数就是 2ak,即  =2ak;反过来,如果赔款数为 2ak,则不合格品数一定为 k.所以事件  =k 等价于事件  =2ak, 也就是 ( = 2ak) = ( = k),0  k  n 从而 p q k n k n P ak k n k         = = − ( 2 ) ,0 于是  的分布列由  的分布列所完全决定.对一般情形,若  是一个离散型随机变量,f(x)是实 变量 x 的单值函数,则当  只取有限个或可列个值,  =f(  )也只取有限个或可列个值,如果  的可能取值为 b (i = 1,2, ) i ,令 { : ( ) } i j a j bi B = a f = 则有 ( ) ( )  = bi =   Bi 于是 ( ) ( ) P  = bi = P   Bi =   = = j i a b j P( a ),i 1,2, (2.20) 所以  的分布列由  的分布列完全确定