上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第五章 数理统计的基本概念 5.1 母体与子样、经验分布函数

§5.1母体与子样、经验分布函数 假设我们要研究某厂所生产的一批电视机显像管的平均寿命，由于测试显像管寿命具有 破坏性，所以我们只能从这批产品中抽取一部分进行寿命测试，并且根据这部分产品的寿命 数据对整批产品的平均寿命作一统计推断。 在数理统计学业中我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体或总体，而把组成 母体的每一单元成员称为个体。例如上述的一批显像管的全体就组成一个母体，其中每一个 显像管就是 一个个体。 在实际中我们所研究的往往是母体中的个体的各种数值指标，例如晶体管的寿命指标 ,它是一个随机变量。假设5的分布函数是F(x)。如果我们主要关心的只是这个数 值指标专，为了方便起见，我们可以把这个数值指标专的可能取值的全体看作母体，并 且称这一母体为具有分布函数下(x)的母体。这样就把母体和变量联系起来了，并且这种 联系也可以推广到k维，k≥2。例如要研究母体中个体的两个数值指标5和门，譬如某种 合金钢的韧度和硬度，电视机显像管的寿命和亮度等，我们可以把这两个指标所构成的二维 随机变量（专，刀）可能取值的全体看作一个母体，简称二维母体。这二维随机变量(5 )在母体上有一个联合分布函数F(x),并称这一母体具有分布函数F(x)的母体。 前面已经提过，数理统计学中我们总是通过观测和试验以取得信息，我们可以从客观存 在的母体中按机会均等的原则随机地抽取一些个体，然后对这些个体进行观测或测试某一指 标亏的数值。这种按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样 所如我们抽取了n个个体，且这n个个体的某一指标为（5与1,52，，5，)，我们 称这n个个体的指标(51,52，，5，)为一个子样或样本，n称作这子样的容量 在重复取机中每个5，是一个随机变量，从而我们可以把容量的子样(51,52，…， 5n)看成一个n维随机变量。在一次抽样以后，观测到(51,52，…，5n)的 一组确定的值(X1,X2,…,X,)称作容量为n子样的观测值。容易为n的子样的观 测值(X,X2,…,Xn)可以看作一个随机实验的一个结果，它的一切可能结果的全 体构成一个样本空间，往后我们称为子样空间。它可以是Ⅱ维空间，也可以是其中的一个 子集，而子样的一组观测值(《1，X2，…,X。）是子样空间的一个点，如果要研究母 体中个体的两个指标(5，刀)，则所抽取的n个个体的指标(51，刀1)，(52，几2)，…， (5,刀n)构成一个容量为n的子样。由此可见，二维母体的容量为n的子样由2如个

§5.1 母体与子样、经验分布函数 假设我们要研究某厂所生产的一批电视机显像管的平均寿命，由于测试显像管寿命具有 破坏性，所以我们只能从这批产品中抽取一部分进行寿命测试，并且根据这部分产品的寿命 数据对整批产品的平均寿命作一统计推断。 在数理统计学业中我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体或总体，而把组成 母体的每一单元成员称为个体。例如上述的一批显像管的全体就组成一个母体，其中每一个 显像管就是一个个体。 在实际中我们所研究的往往是母体中的个体的各种数值指标，例如晶体管的寿命指标  ，它是一个随机变量。假设  的分布函数是 F（x）。如果我们主要关心的只是这个数 值指标  ，为了方便起见，我们可以把这个数值指标  的可能取值的全体看作母体，并 且称这一母体为具有分布函数 F（x）的母体。这样就把母体和变量联系起来了，并且这种 联系也可以推广到 k 维，k≥2。例如要研究母体中个体的两个数值指标  和  ，譬如某种 合金钢的韧度和硬度，电视机显像管的寿命和亮度等，我们可以把这两个指标所构成的二维 随机变量（  ， ）可能取值的全体看作一个母体，简称二维母体。这二维随机变量（  ，  ）在母体上有一个联合分布函数 F（x），并称这一母体具有分布函数 F（x）的母体。 前面已经提过，数理统计学中我们总是通过观测和试验以取得信息，我们可以从客观存 在的母体中按机会均等的原则随机地抽取一些个体，然后对这些个体进行观测或测试某一指 标  的数值。这种按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样。 所如我们抽取了 n 个个体，且这 n 个个体的某一指标为（  1 ，  2 ，…，  n ），我们 称这 n 个个体的指标（  1 ，  2 ，…，  n ）为一个子样或样本，n 称作这子样的容量 在重复取机中每个  i 是一个随机变量，从而我们可以把容量 n 的子样（  1 ， 2 ，…，  n ）看成一个 n 维随机变量。在一次抽样以后，观测到（  1 ， 2 ，…，  n ）的 一组确定的值（x 1 ，x 2 ，… ，x n ）称作容量为 n 子样的观测值。容易为 n 的子样的观 测值（x 1 ，x 2 ，… ，x n ）可以看作一个随机实验的一个结果，它的一切可能结果的全 体构成一个样本空间，往后我们称为子样空间。它可以是 n 维空间，也可以是其中的一个 子集，而子样的一组观测值（x 1 ，x 2 ，… ，x n ）是子样空间的一个点，如果要研究母 体中个体的两个指标（  ， ），则所抽取的 n 个个体的指标（  1 ，1 ），（  2 ， 2 ），… ， （  n ， n ）构成一个容量为 n 的子样。由此可见，二维母体的容量为 n 的子样由 2n 个

随机变量构成，它的一组观测值(X1,y,·X2,y2,…,Xn,yn)2n是维空间 中一个 二维母体的子样空间可以是2是维空间，也可是其中的一个子集。类似地， 维母体的容量为■的子样是由k×n个随机变量构成的。它的一组观测值由k×■个数组成 是k×n维空间中的一个点。k维母体的子样空间可以是k×n维空间，也可以是其中的一个 子集。 实际上，从母体中抽取子样可以有名种不同的方法。为了使轴到的子样能够对母休作出 比较可靠的推断 就希望它能很好地代表母体，这就需 要对抽样 法提： 一些要求，我们 在介绍一种满足下面两个要求的抽样方法：(1)母体的每一个体有同等机会被选入子样：(2 子样的分量与1,52，…，5，是相互独立的随机变量，即子样的每一分量有什么观测 结果并不影响其它分量有什么观测结果。这样取得的子样称做简单随机子样。往后如不作特 一个个体以后立 设母体5具有分布函数F(x),(51,亏2，…，5m)为取自这一母体的容量为 n的子样，则(51,52，…，5n)的联合分布函数 F(X1,X2,…,Xn)=ΠF(x) 例5.1略

随机变量构成，它的一组观测值（x 1 ，y 1 ，x 2 ，y 2 ，… ，x n ，y n ）2n 是维空间 中一个点。二维母体的子样空间可以是 2n 是维空间，也可是其中的一个子集。类似地，k 维母体的容量为 n 的子样是由 k  n 个随机变量构成的。它的一组观测值由 k  n 个数组成， 是 k  n 维空间中的一个点。k 维母体的子样空间可以是 k  n 维空间，也可以是其中的一个 子集。 实际上，从母体中抽取子样可以有各种不同的方法。为了使抽到的子样能够对母体作出 比较可靠的推断，就希望它能很好地代表母体，这就需要对抽样方法提出一些要求，我们现 在介绍一种满足下面两个要求的抽样方法：（1）母体的每一个体有同等机会被选入子样；（2） 子样的分量  1 ，  2 ，…，  n 是相互独立的随机变量，即子样的每一分量有什么观测 结果并不影响其它分量有什么观测结果。这样取得的子样称做简单随机子样。往后如不作特 别说明，提到“子样”总是指简单随机子样。例如从有限母体中抽样，每抽一个个体以后立 即放回，搅匀，然后再抽取下一个个体，这样返回抽样所得的子样就是简单随机子样。 设母体  具有分布函数 F（x），（  1 ， 2 ，…，  n ）为取自这一母体的容量为 n 的子样，则（  1 ，  2 ，…，  n ）的联合分布函数 F * （x 1 ，x 2 ，… ，x n ）= n i=1  F（x i ） 例 5.1 略