上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第二章 离散型随机变量 2.5 方差的定义及性质

§2.5方差的定义及性质 我们已经知道数学期望反映了随机变量的平均值，在许多实际问题中，只要知道这个平均 值 以了，但是数学期望毕竟只能反映平均值，有很大的局限 生，在某些场合中，仅仅知道平 均值是不够的，还是以手表的日走时误差为例，如果有甲，乙两种牌号的手表，它们的日走时误 差分别为5和52各具有如下的分布列： s[日s 0i 0 4 容易验证，这时有E5=E5,-0.从数学期望去看这两种牌号的手表，是分不出它们的优 的如果仔细观察一下这两个分布列，就会得出结论：甲牌号的手表要优于乙牌号.保以见得呢？ 先讨论牌号甲已知E5=0,从分布列可知，大部分手表的日走时误差为0有少部分手表的 日走时误差分散在E5的两侧，再看牌号乙，虽然也有E5,0,但是只有少部分的日走时误差 为0却大部分分散在E52的两侧，而且分散的范围也比甲牌号的范围大由此看来两种牌号的 手表中牌号甲的手表日走时误差比较稳定，所以牌号甲比牌号乙好对于这样的评论，读者可 能会觉得有点罗唆那么是否可以用一个数字指标来衡量一个随机变量离开它的期望值的偏 离程度呢？这正是本节所要讨论的问题。 如果5是要讨论的随机变量，E5是它的数学期望，这时15E5引 就衡量了随机变量5和它的数学期望E5之间偏差的大小，但是绝对值运算有许多不便之处， 人们便用（传-E)?去衡量这个偏差.但是（传-E5)是一个随机变量，应该用它的平均值，即 用(5-E)'这个数值来衡量5离开它的平均值E5的偏离程度为此，引入下述定义 定义26设5是一个离散型随机变量，数学期望E5存在，如果(5-E5)2存在，则称 (5-E)2为随机变量5的方差，并记D5. 方差的平方根√D5又称为标准差或根方差，常记为σ5.在现实问题中标准差用得很广 泛，其优点是它与5具有相同的量纲 如果随机变量ξ分布列为 [aa3… Lp pa

§ 2.5 方差的定义及性质 我们已经知道数学期望反映了随机变量的平均值,在许多实际问题中,只要知道这个平均 值就可以了,但是数学期望毕竟只能反映平均值,有很大的局限性,在某些场合中,仅仅知道平 均值是不够的,还是以手表的日走时误差为例,如果有甲,乙两种牌号的手表,它们的日走时误 差分别为 1  和  2 各具有如下的分布列:      − 0.1 0.8 0.1 1 0 1 :  1      − − 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 2 1 0 1 2 :  2 gjzsj 容易验证，这时有 E 1 =E 2 =0.从数学期望去看这两种牌号的手表,是分不出它们的优劣 的.如果仔细观察一下这两个分布列,就会得出结论:甲牌号的手表要优于乙牌号.保以见得呢? 先讨论牌号甲.已知 E 1 =0,从分布列可知,大部分手表的日走时误差为 0,有少部分手表的 日走时误差分散在 E 1 的两侧,再看牌号乙,虽然也有 E 2 =0,但是只有少部分的日走时误差 为0却大部分分散在 E 2 的两侧,而且分散的范围也比甲牌号的范围大.由此看来,两种牌号的 手表中牌号甲的手表日走时误差比较稳定,所以牌号甲比牌号乙好!对于这样的评论,读者可 能会觉得有点罗唆.那么是否可以用一个数字指标来衡量一个随机变量离开它的期望值的偏 离程度呢?这正是本节所要讨论的问题. 如果  是要讨论的随机变量, E 是它的数学期望,这时|  - E | 就衡量了随机变量  和它的数学期望 E 之间偏差的大小,但是绝对值运算有许多不便之处, 人们便用 2 ( − E) 去衡量这个偏差.但是 2 ( − E) 是一个随机变量,应该用它的平均值,即 用 2 ( − E) 这个数值来衡量  离开它的平均值 E 的偏离程度.为此,引入下述定义. 定义 2.6 设  是一个离散型随机变量,数学期望 E 存在,如果 2 ( − E) 存在,则称 2 ( − E) 为随机变量  的方差,并记 D . gjzsj 方差的平方根 D 又称为标准差或根方差,常记为  .在现实问题中标准差用得很广 泛,其优点是它与  具有相同的量纲. 如果随机变量  分布列为         1 2 1 2 p p a a gjzsj

则由定理2.2可得 D5=E(5-E5) -2a-野n =k-2a,E5+(Ep, =E52-(E5)2 (2.30 这是一个常用的计算方差的公式 现在不妨来计算一下前述甲，乙两种牌号手表的日走时误差的方差，由于E5=E5=0, 利用上述公式有 D5=E5=(-1)2.0.1+02.0.8+12.0.1=0.2 D52=E号=(-2)2.0.1+(-1)2.0.2+02.0.4+1.02+22.0.1=1.2 显然有D5<D52,故牌号甲优于牌号乙这样的比较比 起前面的大段议论当然要简洁得多了，由此可知，数学期望和方差是随机变量基本些特性的数 值标志，因而常常称它们是随机变量的数字特征随机变量还有许多其它的数字特征，而数学 期望和方差是最基本和最常用的两个数字特征. 例2.17若5服从参数为入的普哇松分布，试求D5 解已知Eξ=入，而 5=子=2 - - -he 220-2n+e+)=+ 由(2.30)即得 D5=E52-(E5)2=P+1-2=元 由此可知普哇松分布的随机变量的方差恰为该分布的参数入

则由定理 2.2 可得 2 D = E( − E)   = = − 1 2 ( ) i ai E pi gjzsj   i i =  ai − ai  E + E • p  =1 2 2 2  (  ) 2 2 = E − (E) (2.30) 这是一个常用的计算方差的公式. 现在不妨来计算一下前述甲, 乙两种牌号手表的日走时误差的方差,由于 E 1 = E 2 =0, 利用上述公式有 ( 1) 0.1 0 0.8 1 0.1 0.2 2 2 2 2 D 1 = E 1 = −  +  +  = ( 2) 0.1 ( 1) 0.2 0 0.4 1 0.2 2 0.1 1.2 2 2 2 2 2 2 D 2 = E 2 = −  + −  +  +  +  = 显然有 D1 < D 2 ,故牌号甲优于牌号乙.这样的比较比 起前面的大段议论当然要简洁得多了.由此可知,数学期望和方差是随机变量基本些特性的数 值标志,因而常常称它们是随机变量的数字特征.随机变量还有许多其它的数字特征,而数学 期望和方差是最基本和最常用的两个数字特征. gjzsj 例 2.17 若  服从参数为  的普哇松分布,试求 D . 解 已知 E =  ,而    = − − −  = − = = 1 1 1 2 2 ! ( 1)! i i i i i e e i i E i             − + − =  −   =  = − − − 1 1 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1) i i i i i i e i     gjzsj           = + = +      + − =   = − − 2 2 2 ( 1) ( 2)! i i e i e 由(2.30)即得  =  −  =  +  −  =  2 2 2 2 D E (E ) 由此可知普哇松分布的随机变量的方差恰为该分布的参数 

由方差的定义可知方差本身也是一个数学期望，所以由数学期望的性质可以扒出方差有 下述常用的基本性质： )若C是常数则DC-0, (2)若C是常数，则D(C)=C2.D5: (3)若5，n是两个相互独立的随机变量，且D5,Dn存在，则 D(5+)=D5+Dn (2.31) 性质(1)与(2)的证明是容易的，下面证明性质(3)，我们有 D5+)=E(5+)2-[E(5+I =E(5+)2-(E5+E) =EE2+E72+2E(E)-(E5)2-(E7）2-2E5·E7 因为5与n独立，所以 E(5m=E5·En 从而有 DE+7)=E52+E72-(E)2-(E)2=D5+Dn 性质(3)得证性质(3)还可以推广到n维随机变量的场合，如果5，…，5n是n个相互独立的随机 变量，并且D5,(1≤1≤)都存在，那么有 d2-2s (2.31') 成立 如果随机变量n服从0一1分布，已知Eξ=P这时易知有 E72-p Dn=En2-(En)2=p-p2=p.q(q=l-p)

由方差的定义可知方差本身也是一个数学期望,所以由数学期望的性质可以扒出方差有 下述常用的基本性质: (1) 若 C 是常数,则 DC=0; (2) 若 C 是常数,则 ( ) ; 2 D C = C  D (3) 若  , 是两个相互独立的随机变量,且 D , D 存在,则 gjzsj D( +) = D + D (2.31) 性质(1)与(2)的证明是容易的,下面证明性质(3),我们有 2 2 D( +) = E( +) −[E( +)] 2 2 = E( +) − (E + E) = E + E + 2E( ) − (E) − (E) − 2E  E 2 2 2 2 因为  与  独立,所以 E() = E  E 从而有 D  + = E + E − E − E = D + D 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 性质(3)得证.性质(3)还可以推广到n维随机变量的场合,如果   n , , 1  是n个相互独立的随机 变量,并且 D (1 i n)  i   都存在,那么有   = =  =      n i i n i D i D 1 1   (2.31 ` ) 成立 如果随机变量  服从 0—1 分布,已知 E =P,这时易知有 gjzsj E = p 2  D = E − E = p − p = p  q 2 2 2   ( ) (q=1-p)