上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第一章 事件与概率 1. 3 古典概型

§1.3古典概型 在§2种己经提到，一个随机试验，数学上用样本空间，时间域？和概率P来描述。 对一个随机事件A∈和，如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本课恶。我们先讨论 一类最简单的随机试验，它具有下述特征： (1)样本空间的元素（即基本事件）只有有限个。不妨设为n个，并记它们为世 2…、n (2)每个基本事件出现的可能性是相等的，即有 P(w,)=P(m2)=…=P("n) 这种等可能的数学模型曾是概率论发展的主要研究对象，通常就称这种数学模型为古典 型。它在概率论中很重要的地位， 方面 ,因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解 另一方面，它又概括了许多实际间题，有很广泛的应用。 对上述的古概型，它的样本空间2=(m、,、,事件域为2的所 有子集的全体。这时，连同☑、2在内，？中含有2”个事件，并且从概率的可加性 知 1=P(2)=P(w,)+P(w2)+…P(w) 于是 P()=P(,)=…p(w,)= 对任意一个随机事件A∈，如果A是k个基本事件的和，即 A-Wi U W U.. 则 P().长4中所含的基本事件数 n 基本事件总数 A的有利事件数 基本事件总数 (A中所含的基本事件数，习惯上常常称为A的有利事件数)，不难验证，上述的概率P() 的确具有非负性、规范性和有限可加性。 例1.1在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1、2、…、10，从中任取一球，求 此球号码为偶数的概率 解令 I=所取球的号码为I},1=1、2、“、10 ①={1,2，…，10}

§ 1.3 古典概型 在§2 种已经提到，一个随机试验，数学上用样本空间  ，时间域  和概率 P 来描述。 对一个随机事件 A  ，如何寻求它的概率 P（A）是概率论的一个基本课题。我们先讨论 一类最简单的随机试验，它具有下述特征： （1） 样本空间的元素（即基本事件）只有有限个。不妨设为 n 个，并记它们为 w1 、 w2 …、 wn （2） 每个基本事件出现的可能性是相等的，即有 P（ w1 ）=P（ w2 ）= … =P（ wn ） 这种等可能的数学模型曾是概率论发展的主要研究对象，通常就称这种数学模型为古典概 型。它在概率论中很重要的地位，一方面，因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解， 另一方面，它又概括了许多实际问题，有很广泛的应用。 对上述的古典概型，它的样本空间  ={ w1 、 w2 …、 wn }，事件域  为  的所 有子集的全体。这时，连同 、 在内，  中含有 n 2 个事件，并且从概率的可加性 知 1 = P（  ）= P（ w1 ）+P（ w2 ）+ … +P（ wn ） 于是 P（ w1 ）= P（ w2 ）= … +P（ wn ）= n 1 对任意一个随机事件 A  ，如果 A 是 k 个基本事件的和，即 A= 1 wi U i w 2 U … U i w 2 ， 则 P（A）= n k = 基本事件总数 A中所含的基本事件数 = 基本事件总数 A的有利事件数 （A 中所含的基本事件数，习惯上常常称为 A 的有利事件数），不难验证，上述的概率 P（·） 的确具有非负性、规范性和有限可加性。 例1.1 在盒子中有十个相同的球，分别标为号码 1、2、…、10，从中任取一球，求 此球号码为偶数的概率。 解 令 I={所取球的号码为 I}，i=1、2、…、10 则  ={1，2，… ，10}

故基本事件总数n=10.又令 A={所取球的号码为偶数】 显然 A={2)U{4U{61U8U101 所以A中含有n4=5个基本事件，从而 D(A)= =5/10=1/2 例1.2一套五卷的选集，随机地放到书架上，求各册自左到右或自右到左恰成1、2、 3、4、5的顺序的概*。 解以a、b、c、d、e表示自左到右排列的书的卷号，这时一个放置的方式与一个向量 e)相对应 ,b、c、d、e只能在12 、4、 5中取值（而且不许重 120种放法是等可能的，这时就得到一个古典概型2=、，一、M0小，而有利事件A 的发生只有两种情形：或者卷号的排列为1、2、3、4、5，或者为5、4、3、2、1、，所以 2 Pa)=12060 例1,8设有n个8设有n个人，每个人都等可能的被分配到N个房间中的任何一间去(n ≤N),求下列事件的概率： (1)指定的n个房间各有一个人住： (2)恰好有n个房间，其中各住一人 解()R=N NN"(N-n)! 例L.9某班级有n个人(n≤365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率？ 解假定一年按365天计算，把365天当作35个“房间”，那每间题就可归纳为 例1.8，这时“n个人的生日全不相同”就相当与例1,8中(2)：“恰有n个房间，其 中各住一人”。令 ={血个人中至少有两个人生日相同 A={n个人的生日全不相同} 由例1.8的(2)知 P (A)=N(N-m) N!

故基本事件总数 n=10，又令 A ={所取球的号码为偶数} 显然 A={2} U {4} U {6} U {8} U {10} 所以 A 中含有 A n =5 个基本事件，从而 P（A）= n nA =5/10=1/2 例1.2 一套五卷的选集，随机地放到书架上，求各册自左到右或自右到左恰成 1、2、 3、4、5 的顺序的概率。 解 以 a、b、c、d、e 表示自左到右排列的书的卷号，这时一个放置的方式与一个向量 （a、b、c、d、e）相对应，而 a、b、c、d、e 只能在 1、2、3、4、5 中取值（而且不许重 复取某个值），故这种向量的个数共有 5！=120 个。因为各卷书的安放是随机的，从而这 120 种放法是等可能的，这时就得到一个古典概型  ={ w1 、 w2 …、 w120 }，而有利事件 A 的发生只有两种情形：或者卷号的排列为 1、2、3、4、5，或者为 5、4、3、2、1、，所以 P（A）= n nA = 60 1 120 2 = 例1.8 设有n个8 设有 n 个人，每个人都等可能的被分配到 N 个房间中的任何一间去（n ≤N），求下列事件的概率： （1） 指定的 n 个房间各有一个人住： （2） 恰好有 n 个房间，其中各住一人。 解 （1） P1 = n N n! (2) n N n n N !       = ( )! ! N N n N n − 例 1.9 某班级有 n 个人（n≤365），问至少有两个人的生日在同一天的概率？ 解 假定一年按 365 天计算，把 365 天当作 365 个“ 房间”，那每问题就可归纳为 例 1.8，这时“n 个人的生日全不相同”就相当与例 1.8 中（2）：“恰有 n 个房间，其 中各住一人”。令 A={n 个人中至少有两个人生日相同} 则 ___ A = {n 个人的生日全不相同} 由例 1.8 的（2）知 P（ ___ A ）= ( )! ! N N n N n − 而

P(A)+P(A)=1 于是 P(A)=1 N! (=365) N"(N-n)! 这个例子中对于不同的n值计算的相应P(A)值如下表： n 10 20 23 T80 4050 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97 例1.10甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷次。求“甲掷出正面的次数大 于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。 解令 甲正=甲掷出的正面数 甲反=甲掷出的反面数 乙正=乙掷出的正面数 乙反=乙掷出的反面数 于是所求的事件的概率为P(甲正>乙正)，另一方面显然有 2-(甲E>乙正)=（甲E≤乙E)=(甲反>乙） 因为硬币是均匀的，又对称性知 P(甲E>乙E)=P(甲>乙发) 由此即得 P(甲E>乙E)=1/2

P（A）+ P（ ___ A ）= 1 于是 P（A）=1 — ( )! ! N N n N n − （N=365） 这个例子中对于不同的 n 值计算的相应 P（A）值如下表： n 10 20 23 30 40 50 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97 例 1.10 甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷 n+1 次，乙掷 n 次。求“甲掷出正面的次数大 于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。 解 令 甲正 =甲掷出的正面数 甲反 =甲掷出的反面数 乙正 =乙掷出的正面数 乙反 =乙掷出的反面数 于是所求的事件的概率为 P（ 甲正 > 乙正 ），另一方面显然有  -（ 甲正 > 乙正 ）=（ 甲正 ≤ 乙正 ）=（ 甲反 > 乙反 ） 因为硬币是均匀的，又对称性知 P（ 甲正 > 乙正 ）=P（ 甲反 > 乙反 ） 由此即得 P（ 甲正 > 乙正 ）=1/2