上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第三章 连续形型随机变量 3.1 随机变量及分布函数

第三章连续形型随机变量 §3.1随机变量及分布函数 在第二章中我们研究了离散型随机变量，在那里随机变量只取有限个或可列个值，这当然 有很大的局限性：在许多随机现象中出现的一些变量.如测量某地显像管的寿命某海里高考 体格检查时每个考生的身高，体重等，它们的取值是可以充满某个区间或区域的，如同离散型 随机变量，这此变量的取值是随者试验结果的变化而变化的，因而在试验这前是不确定的，概 率论的任务是要研究它们的统计规律，那么对于这种更一般的随机变量，如何来描述它的统计 规律呢？先看 例寸 例31等可能地在[a,b]上投点这是第一章中曾经讨论过的几何概率一类的问题在这 里等可能的含意是指，所投的点落在[ab]中的任一子区间Bcd中的概率，与B的长度I。成 正比，而与B在[ab中位置无关如果记点落入B中这一事件为B,则上述等可能性即意味着 n点。后 如果投在ab]中的点的坐标为oa≤o≤b),令 5()=a≤o≤) 这样就得到一个随机变量(@)它的取值充满了整个区间a,b]如何来描写(@)的统计规律 呢？你可能会想到，既然对于离散型随机变量，可以用分布描述它们的统计规律，何不仍采用分 布列这个工具呢？慨然有这个想法，那就来看看这个5(@)的分布列吧！对于上述的5（®），它取 [a,b]中任意一点值的概率为 H(0)-0.)=P(o-0.)-b-a- =0 因为单点集的长度为零，由此可知，用分布列是行不通的，需要另外找一个合适的工具前面已 经指出点落入B中的概率与B的长度Is成正比，设B=[c,d]c[a,b]就有 Mes司=P点落入B=风-二 又因为p(5=d)=0,所以 P(cssd)=P(c≤E<d) 而 P(c≤5<d=P(E<d-P5<c) 于是 P(c≤5s)=P5<d)-P(5<c)

第三章 连续形型随机变量 §3.1 随机变量及分布函数 在第二章中我们研究了离散型随机变量,在那里随机变量只取有限个或可列个值,这当然 有很大的局限性.在许多随机现象中出现的一些变量,如测量某地显像管的寿命,某海里高考 体格检查时每个考生的身高,体重等,它们的取值是可以充满某个区间或区域的,如同离散型 随机变量,这此变量的取值是随着试验结果的变化而变化的,因而在试验这前是不确定的,概 率论的任务是要研究它们的统计规律,那么对于这种更一般的随机变量,如何来描述它的统计 规律呢?先看一个例子. 例 3.1 等可能地在[a,b]上投点.这是第一章中曾经讨论过的几何概率一类的问题.在这 里等可能的含意是指,所投的点落在[a,b]中的任一子区间 B=[c,d]中的概率,与 B 的长度 B l 成 正比,而与 B 在[a,b]中位置无关.如果记点落入 B 中这一事件为 B,则上述等可能性即意味着 b a d c b a l P B B − − = − ( ) = 如果投在[a,b]中的点的坐标为 (a    b) ,令  () = (a   ) 这样就得到一个随机变量  () 它的取值充满了整个区间[a,b].如何来描写  () 的统计规律 呢?你可能会想到,既然对于离散型随机变量,可以用分布描述它们的统计规律,何不仍采用分 布列这个工具呢?既然有这个想法,那就来看看这个  () 的分布列吧!对于上述的  () ,它取 [a,b]中任意一点值 0 的概率为 ( ( ) ) ( ) 0 0 0 0 = − = = = = b a l p p       因为单点集的长度为零.由此可知,用分布列是行不通的,需要另外找一个合适的工具.前面已 经指出点落入 B 中的概率与 B 的长度 B l 成正比,设 B= [c,d]  [a,b] 就有 b a d c p c p B p B − − (   ) = (点落入 中) = ( ) = 又因为 p( = d) = 0,所以 P(c    d) = P(c    d) 而 P(c    d) = P(  d) − P(  c) 于是 P(c   ) = P(  d) − P(  c)

这就告诉我们，为了掌握5()统计规律，只要对任意实数x,知道 P((5)<x)=? 就够了这个概率当然与x有关，为此记 F(x)-P(5(o)<x) 定义3.1定义在样本空间2上，取值于实数域的函数5()，称为是样本空间2上的随机 变量，并称 F(x)=P(5(o)<x),x∈(-D,o) (3.1) 是随机变量()的概率分布函数简称为分布函数或分布 从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布函数，都具有下述性质： ()单调性.若x<x2,则F(x)<F(x方 (3.2) (2) F(-)=0 F(+0)=1: (3.4) (3)左连续性.F(x-O)=F(x) (3.5) 下面证明(2)和(3)，先证明(2)，因为0≤F(x)≤1，且F(x)单调，故 lim F(x)=lim F(m) lim F(x)=lim F(m) 都存在，又由概率完全可加性有 1=P-o<5(o)<+∞)=PU儿n≤(o)<n+] -p(n ()m+) =lm2pt≤5o<i+D lim F(m)-lim F(m) 所以必有 lim F)-0.lim F)-1

这就告诉我们,为了掌握  () 统计规律,只要对任意实数 x,知道 P(( )  x) = ? 就够了.这个概率当然与 x 有关,为此记 F(x) = P( ()  x) 定义 3.1 定义在样本空间  上,取值于实数域的函数  () ,称为是样本空间  上的随机 变量,并称 F(x) = P( ()  x), x (−,) (3.1) 是随机变量  () 的概率分布函数.简称为分布函数或分布. 从概率的性质容易看出任意一个随机变量的分布函数,都具有下述性质: (1) 单调性. 若 1 2 x  x ,则 ( ) ( ); 1 2 F x  F x (3.2) (2) F(−) = 0; (3.3) F(+) = 1; (3.4) (3) 左连续性. F(x − 0) = F(x) (3.5) 下面证明(2)和(3),先证明(2),因为 0  F(x) 1,且F(x) 单调,故 ( ) ( ) lim F x lim F m x→− x→− = ( ) ( ) limF x limF n x→+ x→+ = 都存在,又由概率完全可加性有         = −   + =   +  =−  n 1 P( () ) P n () n 1   =− =   + n p(n  () n 1) = →− →+ =   + n i m m n p(i ( ) i 1) lim   ( ) ( ) limF n limF m n→+ m→− = − 所以必有 ( ) 0, ( ) 1 lim = lim = →− →+ F x F x x x

成立 再证明(3)，因为F(x)是单调有界函数其任一点的左极限F(xO)必存在，为证明左连续只要 对某一列单调上升的数列 x1x=1-F(x+0) (3.8) p{5(o)=x;=F(x+0)-F(x) (3.9) 进一步，形如，{x≤（回）≤2，{x<5(回)<x},{6<(o)≤x2,{:≤(0)<2这些 事件以及它们经过有限次或可列次并，交，差以后的概率，都可以由F(x)算出现，所以℉(x)全面 地描述了随机变量5()统率规律，既然分布函数能够描述一般的随机变量的统计规律，因而 分布函数这个概念比分布列更重要，不过，对离散型随机变量来说，用得较多的还是分布列，那

成立. 再证明(3),因为F(x)是单调有界函数,其任一点的左极限 F(x-0)必存在,为证明左连续,只要 对某一列单调上升的数列 , ( ) x1  x2 n  xn  x n →  证明 ( ) ( ) limF x F x n n = → 成立即可,这时,有 ( ) ( ) ( ( ) ) 1 1 F x − F x = p x     x         =    =  + 1 1 ( ) n n n x   x   = =   + 1 1 ( ( ) ) n n n p x   x    = = + − 1 1 ( ) ( ) n n n F x F x ( ) ( ) lim 1 1 F x F x n n + − → 由此即得 ( ) ( ) ( 0) = lim +1 = − → F x F x F x n n 分布函数的三个基本性质已经证毕.反过来还可以证明,任一满足这三个性质的函数,一定 可以作为某个随机变量的分布函.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 知道了随机变量  () 的分布函数 F(x),不仅掌握了{  ()  x} 的概率,而且还可以计算 下述概率. p{ ()  x} = 1− F(x) (3.6) p{ ()  x} = F(x + 0) (3.7) p{ ()  x} = 1− F(x + 0) (3.8) p{() = x} = F(x + 0) − F(x) (3.9) 进一步,形如, 1 2 1 2 1 2 1 2 {x  ()  x },{x  ()  x },{x  ()  x },{x  ()  x }这些 事件以及它们经过有限次或可列次并,交,差以后的概率,都可以由 F(x)算出现,所以 F(x)全面 地描述了随机变量  () 统率规律,既然分布函数能够描述一般的随机变量的统计规律,因而 分布函数这个概念比分布列更重要,不过,对离散型随机变量来说,用得较多的还是分布列,那

是因为它比较方便的缘故 现在就来看离散型随机变量的分布函数与分布列之间有怎样的关系？如果()是一个 离散型随机变量，它的分布列为 [「aa… 那么，5(@)的分布函数为 F(x)=P(5(o)a l0,x≤a 例3.3（略）见P106 连续什布函数是实变量x的单值函数这是我们在数学分析中早已孰采的对象而日Fx)又且 有相当好的性质，有得进行数学处理因而引入随机变量和分布函数这两个概念，就好像在随 机现象和数学分析之间架起了一座桥梁，有了这座桥梁，数学分析这个强有力的工具才有可能 进入随机现象的研究领域中来，由此可以体会到随机变量及分布函数这两个概念的地位和作 用在下面的讨论中，还可以进一步看到数学分析这个工具是如何发挥它的功能

是因为它比较方便的缘故. 现在就来看离散型随机变量的分布函数与分布列之间有怎样的关系?如果  () 是一个 离散型随机变量,它的分布列为         1 2 1 2 p p a a 那么,  () 的分布函数为 ( ) ( ( )  ( ( ) )  =  = = a x i i F x P   x） p   a (3.10) 例 3.2 若  只取一个值 a,即有 p( = a) = 1 求  的分布函数 F(x) 解 易知      =  = x a x a F x p x 0, 1, ( ) ( ) 例 3.3 (略)见 P106 连续分布函数是实变量 x 的单值函数,这是我们在数学分析中早已熟悉的对象,而且 F(x)又具 有相当好的性质,有得进行数学处理,因而引入随机变量和分布函数这两个概念,就好像在随 机现象和数学分析之间架起了一座桥梁,有了这座桥梁,数学分析这个强有力的工具才有可能 进入随机现象的研究领域中来,由此可以体会到随机变量及分布函数这两个概念的地位和作 用.在下面的讨论中,还可以进一步看到数学分析这个工具是如何发挥它的功能