中国科学技术大学：《计算方法》课程教学资源（课件讲稿）第零章 绪论（主讲：傅孝明）

第零章绪论 1

1 第零章 绪论

计算方法概述 实际问题 现实中，具体的科学、工程问题的解决： ↓ 物理模型 1 数学模型 1 数值方法 计算方法是一种研究并解决数学问题 的数值近似解方法 计算机求结果

实际问题 现实中，具体的科学、工程问题的解决： 物理模型 数学模型 数值方法 计算机求结果 计算方法是一种研究并解决数学问题 的数值近似解方法 2

计算方法概述 输入复杂问题或运算 数值 √x,a,lnx, A元=b, 分析 jfx, 近似解 计算机 3

数值 分析 输入复杂问题或运算 ( ) , ( ), ...... , , ln , , f x dx d f x dx x a x Ax b b a x       近似解 计算机   3

计算方法概论 Numerical analysis:involves the study,development, and analysis of algorithms for obtaining numerical solutions to various mathematical problems Scientific computing:solving mathematica/problems numerically on the computer is scientific computing Numerical analysis is called the mathematics of scientific computing

¡ Numerical analysis: involves the study, development, and analysis of algorithms for obtaining numerical solutions to various mathematical problems ¡ Scientific computing: solving mathematical problems numerically on the computer is scientific computing ¡ Numerical analysis is called the mathematics of scientific computing 4

计算方法课程的特点 理论性：数学基础 实践性：算法实现 计算方法是连接模型到结果的重要环节 科学计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算 化学、计算生物学、计算经济学等各个领城 ■ 理论方法十实验方法+科学计算方法 本课仅限介绍最常用数学模型的最基本数值求解方 法 5

¡ 理论性：数学基础 ¡ 实践性：算法实现 ¡ 计算方法是连接模型到结果的重要环节 ¡ 科学计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算 化学、计算生物学、计算经济学等各个领域 ¡ 理论方法＋实验方法＋科学计算方法 ¡ 本课仅限介绍最常用数学模型的最基本数值求解方 法 5

数值计算方法的基本内容 ■数值通近一数学分析中的数值求解，如微分、积分等 ["f(x)dx =F(b)-F(a) ■数值代数一线性代数的数值求解，如解线性方程组、 逆矩阵、特征值、特征向量 Ax=b→x,=D,/D,n=20,9.7×1020 100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次 ■微分方程数值解一常微分方程，积分方程，偏微分方 程等，如Rung-Kutta法、打靶法，有限差分法，有限 元法，有限体积法，边界元法，谱方法等 6

¡ 数值逼近－数学分析中的数值求解，如微分、积分等 ¡ 数值代数－线性代数的数值求解，如解线性方程组、 逆矩阵、特征值、特征向量 ¡ 微分方程数值解－常微分方程，积分方程，偏微分方 程等，如Runge-Kutta法、打靶法，有限差分法，有限 元法，有限体积法，边界元法，谱方法等    b a f ( x)dx F (b) F (a) 20 / , 20, 9.7 10 A i i x  b  x  D D n   100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次 6

误差 ■ 绝对误差：设x为精确值，x为近似值，=x-x为误 差或绝对误差 ■ 例如： fe)=n+)-x+ （-1)”x+ i (n+101+0xi,0<0<1 有限计算，截断误差 π=3.1415926535897932384626433832795. ≈3.14159265358979 有限精度，舍入误差 7

¡ 绝对误差：设 为精确值， 为近似值， 为误 差或绝对误差 ¡ 例如： * x 有限计算，截断误差 x * e  x  x 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ln( 1) , 0 1 ( 1)(1 ) n i n n i n i x f x x x i n x                  3.1415926535897932384626433832795... 3.14159265358979    有限精度，舍入误差 7

误差 ■ 相对误差 e -x e,= 称为相对误差 X ■例如：150分满考139,100分满考90，两者的绝对误 差分别为11和10，优劣如何？ 前者相对误差150-139/150=0.073， 后者相对误差(100-90)/100=0.100 8

¡ 相对误差 ¡ 例如：150分满考139，100分满考90，两者的绝对误 差分别为11和10，优劣如何？ * * * x x x x e e r    称为相对误差 前者相对误差(150－139)/150=0.073， 后者相对误差(100-90)/100=0.100 8

有效位数 ■ 当x的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个 非零位的位数称为x的有效位数 ■有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误 姜 ■例： π的近似值3.141具有几儿位有效位数？ 兀的近似值3.142具有几位有效位数？ 9

¡ 当 的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个 非零位的位数称为 的有效位数 ¡ 有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误 差 ¡ 例：  的近似值3.141具有几位有效位数？  的近似值3.142具有几位有效位数？ x x 9

误差来源 ■ 原始误差一模型误差（忽略次要因素，如空气阻力） 物理模型，数学模型 ·测量误差一观测误差（测量引起的误差) ·方法误差一载断误差（算法本身引起) ■计算误差一舍入误差（计算机表示数据引起） 10

¡ 原始误差－模型误差（忽略次要因素，如空气阻力） 物理模型，数学模型 ¡ 测量误差－观测误差（测量引起的误差） ¡ 方法误差－截断误差（算法本身引起） ¡ 计算误差－舍入误差（计算机表示数据引起） 10