西北工业大学：《工程力学》课程教学（PPT课件）第十一章 压杆稳定

第十一章压杆稳定 压杆稳定的概念 压杆的稳定计算 细长压杆的临界力 小结 压杆的临界应力

第十一章 压杆稳定 压杆稳定的概念 小结 压杆的临界应力 细长压杆的临界力 压杆的稳定计算

第一节压杆稳定的概念 压杄稳定压杄保持其原有直线平衡状态的能力,称其稳 定性。(指受压杆件其平衡状态的稳定性) 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时,突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。 P 干扰力 稳定平街临界状态 不稳定干街 临界力压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力

第一节 压杆稳定的概念 压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳 定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳

第二节细长压杆的临界力 两端铰支细长压杆的临界力 P-T EI 12-两端铰支细长压杆的临界力计算公式(欧拉公式) 二、其他支承情况下细长压杆的临界力 P-T EI mIn 式中:l,压杄横截面对中性轴的最小惯性矩 l计算长度; 长度系数,与杆端支承有关 端固定,一端自由压杆:=2; 两端铰支细长压杆 端固定,一端铰支压杆:μ=0.7; 两端固定细长压杆: =0.5

一、两端铰支细长压杆的临界力 第二节 细长压杆的临界力 2 2 l EI Plj  = —两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式） 二、其他支承情况下细长压杆的临界力 2 min 2 ( l) EI Plj   = 式中： Imin⎯压杆横截面对中性轴的最小惯性矩； μl⎯计算长度； ⎯长度系数，与杆端支承有关。 一端固定，一端自由压杆：μ＝2； 两端铰支细长压杆： μ＝1； 一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7； 两端固定细长压杆： μ＝0.5

例11-1:截面为200×120mm的轴向受 压木柱,l=8m,柱的支承情况是:在 最大刚度平面内压弯时为两端铰支 (图a);在最小刚度平面内压弯时为 200 两端固定(图b)。木材的弹性模量 非0 E=10GPa,试求木柱的临界压力, (图a) (图b) 解:(1)计算最大刚度平面内的临界压力 (即绕轴失稳) 中性轴为轴:1120×2280×10°mmZ 12 200 木柱两端铰支,=1,则得: 學 丌2E3.142×10×103×80×106 123kN 8000

例11-1：截面为200×120mm2的轴向受 压木柱，l=8m，柱的支承情况是: 在 最大刚度平面内压弯时为两端铰支 （图a）；在最小刚度平面内压弯时为 两端固定（图b）。木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力 （即绕y轴失稳） 中性轴为y轴： ( ) ( ) k N l EI P y l j 123 1 8000 3.14 10 10 80 10 2 2 3 6 2 2 =      = =   y z 200 120 120 z y 200 （图a） （图b） 木柱两端铰支，=，则得： 6 4 3 80 10 12 120 200 I y =  mm  = y z 200 120

(2)计算最小刚度平面内的临界压力 (即绕z轴失稳) 中性轴为z轴: 200×120 =28.8×106mm42=28.8×10-6m4 12 木柱两端固定,=0.5,则得 x2E3.142×10×103×28.8×106 =178KN (0.5×8000) 由上可知:木柱的临界压力为P=123kN

（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳） 6 4 6 4 3 28 8 10 28 8 10 12 200 120 I z . mm . m − =  =   = 木柱两端固定，=，则得： ( ) ( ) KN l EI P z l j 178 0.5 8000 3.14 10 10 28.8 10 2 2 3 6 2 2 =      = =   中性轴为z轴： 120 z y 200 由上可知：木柱的临界压力为Plj=123kN

第三节压杆的临界应力 临界应力与柔度 丌2EⅠxE 丌2E TE (m)2A(p)A( 其中:i 截面的惯性半径;为截面的几何性质 兄=称为压杆的柔度(长细比);反映压杆的柔软程度 二、欧拉公式的适用范围 丌2E ≤a,或4≥./E ap

第三节 压杆的临界应力 一、临界应力与柔度 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2          E i l E A I l E l A EI A Pl j l j = = =  =  = 其中： —截面的惯性半径；为截面的几何性质； A I i = ＝ 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。 i l  二、欧拉公式的适用范围 p p l j p E E         =   = 2 2 2 或

三、超出比例极限时压杆的临界力及临界应力总图 当临界应力超出比例极限时,临界应力由经验公式计算。 l=a-b/22 抛物线公式 P=oA=(a-bn)A E B欧拉公式 临界应力总图临界应力G C 与柔度λ的函数关系曲线。 丌2E 入 元≥A:大柔度杆;O=x <2:中小柔度杆;an=a-b

三、超出比例极限时压杆的临界力及临界应力总图 a b ; lj 2  = −  当临界应力超出比例极限时，临界应力由经验公式计算。 : ; : ; 2 2 2          a b E c l j c l j  = −  = 中小柔度杆； 大柔度杆； P A ( a b )A; lj lj 2 = = −  临界应力总图—临界应力lj 与柔度的函数关系曲线。 : ; : ; 2 2 2          a b E c l j c l j  = −  = 中小柔度杆； 大柔度杆； o λ σij E B C A λp λc σs σc σp 抛物线公式 欧拉公式 抛物线公式 欧拉公式

例112图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm材料为43钢 E=20GPa。试求荷载尸的最大值。 0.6m 解:AB压杆1=100=m2=61575m2 =7mm,=1 、11×1000 =1429>n=123;大柔度杆 丌2Ex2×200000 =96.7MPa 1429 CB P=·A=96.7×61575=596kN≥NBA 由结点B的平衡:∑Y=0, Nsin a-Pn=0 BA N,sna≤59.6×-=47.7kN;

96.7 615.75 59.6 ; l j l j NB A P =  A =  = k N  例11-2 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。 解：AB压杆l=1000mm, ; d . mm ; I d A 64 615 75 4 4 2 2   = = = 7 ; 1; 4 = = = mm  = d A I i . ; 大柔度杆； i l 142 9 p 123 7 1 1000 =  =  = =    MPa E l j 96.7 142.9 200000 2 2 2 2 =  = =     由结点B的平衡： 0, sin 0; Y = NBA  − Pmax = 47.7 ; 5 4 Pmax = NB A sin   59.6 = k N P a B NBA NCB P 0.6m C a B A 0.8m

第四节压杆的稳定计算 稳定条件 9小一极限应力法Ps=[P]—许可荷载法 ≤]=qG]—折减系数法 [n]一安全系数法 P φ折減系数或纵向弯曲系数;一般[σ}>[σnl,故q<l d no n, (alo p() 二、压杆的稳定计算 1.稳定计算:由P、A、Ⅰ、l、μ,求λ,查,校核σ 2.确定许可荷载:由A、Ⅰ、l、、E,求[]oo]A 3.设计截面:由P、l、μ,求A、I。因A、o均未知,故用试 算法计算

第四节 压杆的稳定计算  =  [ w ] = —折减系数法 A P       ( ) ( )[ ] ( )            = = = = w l j w W l j n n 一、 稳定条件 —极限应力法 w l j l j A n P   =  [ ] = [ w ]—许可荷载法 w lj P n P P  = lj [nw ]—安全系数法 P P n =  φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw ]，故φ<1。 二、压杆的稳定计算 1. 稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。 3. 设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故用 试 算法计算； 2. 确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A

例11-3校核木柱稳定性。已知l=6m圆截面d=20cm,两端 铰接,轴向压力P=50kN,木材许用应力[o]=10MPa。 解 l d 20 scm 444 ==1×600120 查表:φ0.208,{a]=0.208×10=208 50000×4 1.59MPa<g[]; A丌×200 ∴木杆稳定

例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端 铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。 解： 120; 5 1 600 5 ; 1; 4 20 4 =  = = = = = = = i l cm d A I i    查表，＝0.208, [] = 0.20810 = 2.08; =  木柱稳定。   = = 1.59 [ ]; 200 50000 4 2     MPa A P 查表： ∴ 木杆稳定。 120; 5 1 600 5 ; 1; 4 20 4 =  = = = = = = = i l cm d A I i    120; 5 1 600 5 ; 1; 4 20 4 =  = = = = = = = i l cm d A I i   