西北工业大学：《工程力学》课程教学（PPT课件）第六章 截面的几何性质

第六章截面的几何性质 第一节静矩和形心 第二节惯性矩和惯性积 第三节惯性矩和惯性积的平 行移轴和转轴公式 第四节主惯性轴和主惯性矩 第五节组合截面惯性矩的计算 小结

第六章 截面的几何性质 第二节 惯性矩和惯性积 第三节 惯性矩和惯性积的平 第四节主惯性轴和主惯性矩 第五节 组合截面惯性矩的计算 小结 第一节 静矩和形心 行移轴和转轴公式

第六章截面的几何性质 第一节静矩和形 静矩(面积矩) dA da S.=|2·d4 单位:m3、mm3 由合力矩定理可得 Z y·dA=A·y S,=|z·dA=A.z 下一张上一张

第六章 截面的几何性质 第一节 静矩和形心 一、静矩(面积矩）  =  A Sy z dA  =  A Sz y dA 单位： 3 3 m , mm 由合力矩定理可得： c A z S = y dA = A y  c A y S = zdA = Az  下一张 上一张 ρ Z zc yc dA y c A y Z

二、形心公式 A A 三、组合截面的静矩 n个简单图形组成的截面,其静矩为: S:=∑4ya S,=∑41·=a 四、组合截面形心公式 ∑A ∑4 ∑A 下一张上一张

二、形心公式 A S y z c = 三、组合截面的静矩 n个简单图形组成的截面，其静矩为： = =  n i z i ci S A y 1 = =  n i y i ci S A z 1 四、组合截面形心公式   = =  = n i i n i i ci c A A y y 1 1   = =  = n i i n i i ci c A A z z 1 1 A S z y c = 下一张 上一张

例5-1求图示T形截面形心位置 解:取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0 分解图形为1、2两个矩形,则 0.6m A1=0.072m2,y1=2.46m A2=0.48m2,y2=1.2m ①A+Ay2 ,+ a 0.072×2.46+0.48×1.2 =1.36m 0.072+0.48 若分解为1、2、3三个矩形,则 L0.2m. 0.6×2.52×(1.26-1.2) =0.16m 0.6×2.52-2×0.2×2.4 下一张上一张

例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。 分解图形为１、２两个矩形，则 0.072 , 2.46 ; 1 2 A1 = m y = m 1 2 1 1 2 2 A A A y A y yc + + = 若分解为１、２、３三个矩形，则 0.16 ; 0.6 2.52 2 0.2 2.4 0.6 2.52 (1.26 1.2) y' c = m  −     − = 0.48 , 1.2 ; 2 2 A2 = m y = m 1.36 ; 0.072 0.48 0.072 2.46 0.48 1.2 = m +  +  = 下一张 上一张 0.2m z' c yc' 3 2 1 y1 z y1 y2 yo 2.4m 0.12m y 0.6m C2 C1

第二节惯性矩和惯性积 极惯性矩 截面对坐标原点O的极惯性矩为 Dda 实心圆截面:1=n20u=32 空心圆截面 D (1-a4)(a

第二节 惯性矩和惯性积 一、极惯性矩 截面对坐标原点O的极惯性矩为：  = A I P ρ dA 2 实心圆截面： 32 2 4 2 0 2 πD I ρ πρdA D P =  =  空心圆截面： (1 ) 32 4 4 α πD I P = − ( ) D d α = 下一张 上一张 Z zc yc dA y c A y Z ρ D dρ ρ

二、惯性矩 ∫,ya4l,=J=al 惯性矩恒为正值。 单位:m1,mm 三、惯性积 12==yd 惯性积可为正值、负值或零。 单位:m4,mm

 =   A I zy z y dA 单位： 4 4 m ,mm 惯性矩恒为正值。 三、惯性积  = A I z y dA 2  = A I y z dA 2 惯性积可为正值、负值或零。 单位：m4 ，mm4 二、惯性矩 下一张 上一张 Z zc yc dA y c A y Z ρ

例5-2求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解:取yoz坐标系。取微面积dA=bdy则: h/2 bh' 1= yda= y"bdy 12 取微面积dA=hdz则: h b/2 hb dA hdz b/2 12 取微面积dA=dzdy,则: Ⅰ=0 2y 一张上一张

例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则： 12 3 / 2 / 2 2 2 bh I y dA y bdy h A h z = = =  − 12 3 / 2 / 2 2 2 hb I z dA z hdz b A b y = = =  − 取微面积dA=hdz,则： 取微面积dA=dzdy，则： I zy = 0 下一张 上一张 dz dA dA c y z dy h y Z Z b

例5-3圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解:取yoz坐标系。取微面积dA=22dy则: CR D dA 2 y 4 64 由对称性: y/2D4 64 由几何关系:p2=y2+z2 dA=「( + 一张上一张

例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则： 4 64 2 4 4 2 2 2 2 πR πD I y dA y R y dy R A R z = =  − = =  − 64 4 πD I I y = z = 2 2 2 ρ ＝y + z ( ) . 2 2 2 Z y A A P I = dA = y + z dA = I + I    由对称性： 由几何关系： 下一张 上一张 y c dA dy y z R z

第三节惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 平行移轴公式 121=1+a2A +b24 dAY I+aba 21y1 注意:yz轴必须是形心轴。 二、转轴公式 1, =LydA=lycos a-zsin a)'d y +l cos∠a sin 2a 2 Ⅰ+I cos 2a+. sin 2a 2 2 sn2a+ⅠcOs2a 2 一张上一张

第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 一、平行移轴公式 Ι y Ι y b A 2 1 = + I z y = I zy + abA 1 1 I z Ι z a A 2 1 = + 注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式 α I α I I I I I z y z y z y z cos 2 sin 2 2 2 1 −  − + + = α I α I I I I I z y z y z y y cos 2 sin 2 2 2 1 +  − − + = α I α I I I z y z y z y sin 2 cos 2 2 1 1 +  − =   = = − A A I z y dA y α z α dA 2 2 1 ( cos sin ) 1 下一张 上一张 c A dA Z Z Z1 b a y y1 y z1 y1 yO Z y c A y dA ZO αO αO yc zc Z ρ

第四节主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴(主轴):使截面对z。、y轴的惯性积。=的这对 正交坐标轴; 主惯性矩(主惯矩)∶截面对主惯性轴的惯性矩; 形心主惯性轴(形心主轴):通过形心的主惯性轴 形心主惯性矩(形心主惯矩):截面对形心主轴的惯性矩。 第五节组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时,应先 确定形心位置、形心主轴,再求形心主惯性矩。 一张上一张

第四节 主惯性轴和主惯性矩 正交坐标轴； = 0 o o z y I 主惯性矩（主惯矩）：截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）：通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）：截面对形心主轴的惯性矩。 第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先 确定形心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。 主惯性轴（主轴）：使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对 下一张 上一张