清华大学：《数学建摸》课程教学资源（讲义）离散模型之一一差分方程建模

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1市场经济中的蛛网模型 2离散形式的阻滞增长模型 3按年龄分组的种群增长模型 4减肥计划节食与运动

离散模型之一差分方程建模 §1市场经济中的蛛网模型 §2离散形式的阻滞增长模型 §3按年龄分组的种群增长模型 §4减肥计划——节食与运动 §!市场经济中的蛛网模型供大于求价格下降减少产量象增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

蛛网模型」 x第时段商品数量:yx第A时段商品价格个消费者的需求关系口需求函数y=f(x)减函数 xu=h(x) 生产者的供应关系口供应函数3 增函数 y=g(xkD) ∫与g的交点PxmM)~平衡点 xxk+1xk+2…=x0yk+pyk+2,…=yo 蛛网模型y=/()x1=h0) 设偏离×x→H→x=→2→x→…少个 x→xn,y→P1→P2→>P3→…→>P P是稳定平衡点 P是不稳定平衡点 P AEl K<K PI pk. KskI

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蛛网模型」方程模型在P点附近用直线近似曲线个 y=f(x) -a(x (a>0) x1=h(y2)x1-1=A-1)(B>0) x-xo=-aB(x-x)xu-x=aB)"(x-xo) aB1a(=K)>a(=K)=x→P不稳定蛛网模型结果解释考察a,B的含义 y-y=(x-x)a~商品数量减少1单位价格上涨幅度 kxx=BU-1),B价格上涨1单位(下时段)供应的增量 Q~消费者对需求的敏感程度小有利于经济稳定 β~生产者对价格的敏感程度B小有利于经济稳定 →a/B<1经济稳定

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蛛网模经济不稳定时政府的干预办法 1.使C尽量小,如Q=0 需求曲线变为水平以行政手段控制价格不变 0 2.使B尽量小,如B=0 供应曲线变为竖直靠经济实力控制数量不变模型的推广生产者管理水平捉高」假定生产者根据当前时段和前 y+y-1 时段的价格决定下一时段的产量设供应函数为x-xn=B(+y)/2-yn 需求函数不变y-y=-a(x-x0) 口2x2+a众+a=2(1+aB)x,k=1, 阶线性常系数差分方程 x为平衡点研究平衡点稳定,即k耳x的条件

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模型的推广 2x2+ax1+ax,=2(1+a0)xn的平衡点x0的稳定性方程通解x1=c1x+c22c1,c2由初始条件确定, λ12是特征根,即方程22+aB+aB=0的根平衡点稳定,即k为五的条件:。|N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关) 离散形式y1-y=n;(1-2),k=12, y~某种群第k代的数量(人口) 若y=N,则v+1yx+2…=N,即y=N是平衡点讨论平衡点的稳定性,即k>∞o,ykN?

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离散形弌阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 y-y,=(-3)()y=(+y1 (r+1)N (r+1)N y xn1=bx(1-x)(2) b=r+1 一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y=N(2)的平衡点x2=/(r+1)=1-1b 讨论x*的稳定性一阶(非线性)差分方程x1=f(x)() (*)的平衡点x代数方程x=fx)的根 )的近似线性方程x1=f(x)+f(x)x2-x)(*) 稳定性判断x*也是(*)的平衡点 f(x)1x+是(*+)和*)的不稳定平衡点

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x,1=bx(1-x)的平衡点及其稳定性平衡点x=f(x)=bx(1-x) 另稳定性f(x)=b(1-2x)=2-b 平衡点 f(x)3(f(x)>x不稳定y1 (1)13 1-1/b>1/2 x b/4 x(振荡地)→x观察计x(不)→x 算结果

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倍周期收敛—x不稳定情况的进一步讨论不)→x 子序列x,→x1,x, 单周期不收敛 2倍周期收敛 xn1=f(x)x2=f(x1)=f(f(x)=f(x)(*) x=f(f(x)=bbx(1-x)[1-bx(1-x) (*)的平衡点x=1 b+1干√b2-2b-3 26 x1=f(x2) f(x1),0 x‘不稳定,研究x,x2的稳定性倍周期收敛七b+1千√b2-2b ((x)-=f(x)f(x) (f(x))=f"(x)f"(x2) 口x1;,x2的稳定性相同 (f2(x) b2(1-2x1)(1-2x2) (f"2(x2)<1 b<1+√6÷3449

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倍周期收敛 b>3449(f(x2)}>1)日x,(及x)不稳定出现4个收敛子序列x 4k+144k+254k+3 平衡点及其稳定性需研究x4=f(x) 34493.57 b357,不存在任何收敛子序列混沌现象 §3按年龄分组的种群增长模型不同年龄组的繁殖率和死亡率不同以雌性个体数量为对象 ·建立差分方程模型,讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模种群按年龄大小等分为n个年龄组,记=1,2…n 时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,记k=1,2, ·第许龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为b; 仁第龄组在1时段内的死亡率为d存活率为s=1-4

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假设x(k)-时段k第年龄组的种群数量建模x(k+1)=∑bx(k)(设至少1个b>0) xm1(k+1)=Sx(k),i=1,2,…,n-1 6, 6 b,1 x(k)=Lx,(k), x,(),x,(k)] 0 00 按年龄组的分布向量 k+1)=Lx(k) 0 x(k)=Lx(0) 0 预测任意时段种群 Leslie矩阵L矩阵) 按年龄组的分布稳定状态分析的数学基础 L矩阵存在正单特征根λ,使风≤,k=2,3,…n 特征向量为x2=1,S,55,…s ·若矩阵存在bb>0,则<2,k=2,3,…,n 且imx(k)=cx,c是由b,s,x0决定的常数 x(k)=Lx0)=(Pag(x,…1)1D)P的第1 Pdig(2,…2)P 列是x lim x(k) Diag(1,0,…0)P=x(0)

L L L N 7 Q Q Q Q L Q L L 7 Q Q N N ! N N o f N N Q N N Q N " ! N N o f

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