《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 傅里叶变换 5.3 δ-函数

53δ-函数 1.作为广义函数的引入 物理上,存在这样的物理量,在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量 的密度为无穷大,但是在整个空间,这个物理量的总量却为有限。δ-函数就 是作为这样的密度被引入的。例如,电子的电量是有限的e=16×101C。但电 子的半径大小至今只测量到上限,即不大于10-1m,并且随看测量精度的提高, 这个上限越来越小,也就是趋于零。而目前的理论研究也得出电子半径为零的 结果。于是,当空间存在一个电子时,这时空间中的电荷密度就由-来 表示 数学上可以将无限小的范围 维考虑线质量密度P 看作有限大小范围的极限 (x) e,(x)=erect() 全空间总质量(x)k= m dx=m /2 l/2 x

5.3  − 函数 1. 作为广义函数的引入 物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量 的密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。 函数就 是作为这样的密度被引入的。例如，电子的电量是有限的 。但电 子的半径大小至今只测量到上限，即不大于 ，并且随着测量精度的提高， 这个上限越来越小，也就是趋于零。而目前的理论研究也得出电子半径为零的 结果。于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷密度就由 函数来 表示。  − e C 19 1.6 10− =  m 16 10−  − 数学上可以将无限小的范围 一维 考虑线质量密度  l 看作有限大小范围的极限 ( ) ( ) l x rect l m x l = 0 m/l −l / 2 l / 2 (x) l x    − − = = / 2 / 2 ( ) l l l dx m l m 全空间总质量  x dx

1→0的极限全空间总质量不变m∫m(x)bk=Jm(x)x=m 密度 0,(x≠0 p(x=lim p, (x)=lim rect() (x=0) 因此,作为广义函数引入⑧-函数: 0,(x≠0) o(x 6(x-x0) (x=0 ab0) (ax (x-x0) 0,(x≠x0) 0,(a,b<x,或a,b δ(x-x (a<x<b0)

l →0 的极限    −  − → lim ( ) = ( ) = , 0 l x dx x dx m l 全空间总质量不变       =  = = = → → . ( 0) 0, ( 0) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 x x l x rect l m x x l l l 密度       =  = ; ( 0) 0, ( 0) ( ) x x  x 因此，作为广义函数引入  − 函数：        =  1. ( 0 0) 0, ( , 0, , 0) ( ) a b a b a b x dx b a 或  x ( ) 0  x − x 0 x 0 则 (x) = m (x)     =  − = ; ( ) 0, ( ) ( ) 0 0 0 x x x x  x x        − =  1. ( 0) 0, ( , , , ) ( ) 0 0 0 0 a x b a b x a b x x x dx b a 或  又，对 0 0 → x

2.一些性质 (1)偶函数从图形可以看出(-x)=6(x) (-x)=-6(x (2)阶跃函数或亥维赛单位函数 H(x) (x0) δ(x) dH(x) (3)挑选性 对连续函数f(x ∫()i(x-)d=/() 持续于[0,]的力F(0的冲量为各无穷小时 间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力 的冲量可以看作瞬时力f(x)(r-1)的冲量 (4)表示连续量 f(r)o(z-1) f(ro(r-tdr F(rdr=f(o1=f(r)S(T-odr △

2. 一些性质 (1) 偶函数 '( ) '( ). ( ) ( ), x x x x     − = − 从图形可以看出 − = (2) 阶跃函数或亥维赛单位函数 −      = = x x x H x t dt 1. ( 0) 0, ( 0) ( )  ( ) 0 x 1 H (x) . ( ) ( ) dx dH x  x = (3) 挑选性 对连续函数 f ( ) ( ) ( ) ( ). 0 0 f −t d = f t   −     (4) 表示连续量 0 1 持续于 [0, 1] 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时 间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力 的冲量可以看作瞬时力 的冲量 t   F( )d f (t) 1 f ( ) ( t)d 1 0 1 0 =  = −   f ( ) ( − t) f ( ) ( − t) f ( ) ( −t)d

(5)复合函数若o(x)=0的实根x(k=1,2,3)全部是单根,则 [0(x)] S(x-xH (x) x1=0,9)(x1)= 6(x2-a2) (x-a)+6(x+a) x2-a2=(x+a)(x-a)=0,x (x2-a 2 3.其它表示 d(x)=lim rect(); 1→>0l I sin Kx d(x=lim d(x)=lim p8 tx

(5) 复合函数 若 (x) = 0 的实根 xk (k =1,2,3, ) 全部是单根，则  − = k k k x x x x '( ) ( ) [ ( )]     例 ; ( ) ( ) 0, '( ) 1 1 a x ax x x a   =  = = . 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 a x a x a x a − + + − =    x a x a a x a x a x a x a x a x x ( )' ( )' 2 ( )( ) 0, , 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 − = − = − = + − = = = − 3. 其它表示 ( ); 1 ( ) lim 0 l x rect l x l→  = ; 1 sin ( ) lim x Kx x K   → = . 1 ( ) lim 2 2 0 x x + = →     

4.傅里叶变换 6(x)=c(o)e C()-2 d(edx 2丌 2丌 δ(x) do 例阶跃函数的傅里叶变换 「H(x)tx-a=,不满足傅立叶积分定理,不能直接给出其傅立叶变换,必须采用某种变通办法 定义函数系列:H(x,B=0 Ax (x>0 ,显然H(x)=mH(x,B) (x0 B-0 2T B+io lim B )=6(O)-P 2rB→0B B 2丌

4. 傅里叶变换   −  ( ) = () ,  x C e d i x . 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0        = = = −  − −  i x i C x e dx e   − = , 2 1 ( )     x e d i x 例 阶跃函数的傅里叶变换 ( ) , 0 = =     − H x dx dx 不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用某种变通办法 定义函数系列：      = − 0. ( 0) , ( 0) ( , ) x e x H x x  ，显然 ( ) lim ( , ) 0   H x H x → + =             i e i H x e e dx x i x i x + = + = = − − +   − −  1 2 1 1 2 1 2 1 [ ( , )] 0 ( ) 0 F . 1 2 ( ) 2 1 lim ( ) 2 1 1 2 1 [ ( )] lim [ ( , )] lim 2 2 2 2 0 0 0                   P F F i i i H x H x = − + − + + = = → → →

5.多维情况 δ(7)= (F=0) 6(7)dxv=1. δ(7)=8(x)6(y)6(z) 小结 A.傅立叶级数和傅立叶积分是通过积分实现的从时域到频域的复变换, 提供在频域表示函数性质的方法 B.周期函数变换为离散级数,非周期函数变换为积分。 C.傅立叶积分的若干性质,有利于其应用。 D.δ-函数和阶跃函数

5. 多维情况     =  = . ( 0) 0, ( 0) ( ) r r r       (r)dxdydz =1.    (r) =  (x) ( y) (z).  小结 A. 傅立叶级数和傅立叶积分是通过积分实现的从时域到频域的复变换， 提供在频域表示函数性质的方法。 B. 周期函数变换为离散级数，非周期函数变换为积分。 C. 傅立叶积分的若干性质，有利于其应用。 D.  −函数和阶跃函数