《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）矢量分析

当数学物理方法 今数学物理方程 复变函数

数 学 物 理 方 法 ❖数学物理方程 ❖复变函数

教学目的 介绍理论物理中出现的数学概念; 介绍一些处理理论物理问题常用的数学方 法,如付里叶变换,拉普拉斯变换,留数 定理,保角变换等等。 介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法, 分离变量法,格林函数方法,达朗贝耳公 式等等

教 学 目 的 ❖ 介绍理论物理中出现的数学概念； ❖ 介绍一些处理理论物理问题常用的数学方 法，如付里叶变换，拉普拉斯变换，留数 定理，保角变换等等。 ❖ 介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法， 分离变量法，格林函数方法，达朗贝耳公 式等等

考察大学物理与理论物理间的区别 q E(r I X E(X) 大学物理:均匀带电圆环,求轴上离圆心x处电场强度。 利用 E=-gradU 4丌Er 电动力学:求圆环周围的度 解拉普拉斯方程△U=0,E=- gradU 《数学物理方法》p.297,第9题

考察大学物理与理论物理间的区别 q o x r  E(x)  E(r)   大学物理：均匀带电圆环，求轴上离圆心 x 处电场强度。 电动力学：求圆环周围的度。 利用 , . 4 0 E gradU r dq U = = −     解拉普拉斯方程 U = E = −gradU  0, 《数学物理方法》p.297, 第9题

Grad的概念,拉普拉斯方程的解法。 求积分需要利用电荷分布的对称性, 只能计算轴上各点的电势,拉普拉 斯方程求解不受这个限制。所以理 论物理可以给出复杂条件下更多更 精确的结果

求积分需要利用电荷分布的对称性， 只能计算轴上各点的电势，拉普拉 斯方程求解不受这个限制。所以理 论物理可以给出复杂条件下更多更 精确的结果。 Grad的概念，拉普拉斯方程的解法

复变函数 矢量分析复习 复变函数 付利叶变换和拉普拉斯变换

复 变 函 数 ❖矢量分析复习 ❖复变函数 ❖付利叶变换和拉普拉斯变换

矢量分析 冷标量场的梯度(grad) 冷矢量场的散度(div) 冷矢量场的旋度(cur) 无散场和无旋场 正交曲线座标系 以复习为主

矢 量 分 析 ❖标量场的梯度（grad） ❖矢量场的散度(div) ❖矢量场的旋度(curl) ❖无散场和无旋场 ❖正交曲线座标系 以复习为主

标量场的梯度 1方向导数 标量:一个自由度的变量,它只具有一个值。 如:密度,电量,质量,能量,温度等。 矢量:两个以上的自由度的变量,一个自由度可 取为它的值,其它的自由度确定它的方向 如:速度,电场强度,力等。 般地,具有多自由度的量可以利用矢 量来表示其特性,并进行推理

标 量 场 的 梯 度 1.方向导数 标量：一个自由度的变量，它只具有一个值。 如：密度，电量，质量，能量，温度等。 矢量：两个以上的自由度的变量，一个自由度 可 取 为它的值，其它的自由度确定它的方向。 如：速度，电场强度，力等。 一般地，具有多自由度的量可以利用矢 量来表示其特性，并进行推理

场:二维或二维以上的空间中的 个范围,在其每一点,都定义 个标量,矢量或其它什么量。对应 地称为标量场,矢量场,或者什么 什么场。因此,场就是空间座标的 函数 自变量可以具有几个独立分量, 函数也可以有几个独立分量。因 此,有标量,场矢量场等

场： 二维或二维以上的空间中的 一个范围，在其每一点，都定义一 个标量，矢量或其它什么量。对应 地称为标量场，矢量场，或者什么 什么场。因此，场就是空间座标的 函数。 自变量可以具有几个独立分量， 函数也可以有几个独立分量。因 此，有标量，场矢量场等

导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限 对于一维的情况,函数对于座标的导数,是沿 自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯 的方向,而无需特别地强度导数的方向性。 场是二维以上空间的函数,其自变量具有两个 以上的独立分量。故在求其导数时,几个自变 量的增量确定了一个矢量,这个表示增量的矢 量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量 增量矢量的方向变化而变化,导致场的导数有 方向性

导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限。 对于一维的情况，函数对于座标的导数，是沿 自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯 一的方向，而无需特别地强度导数的方向性。 场是二维以上空间的函数，其自变量具有两个 以上的独立分量。故在求其导数时，几个自变 量的增量确定了一个矢量，这个表示增量的矢 量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量 增量矢量的方向变化而变化，导致场的导数有 方向性

u(, y) 左边是一个平面温度场, u(X,y)为温度。在点尸,不 书同的方向温度的陡度是不 同的。因此温度沿不同方 0 向的导数是不同的 导数的大小与方向有关 △ △ △ △uL1≠A2

x 0 y u(x, y) 1 r   2 r   左边是一个平面温度场， u(x,y)为温度。在点P，不 同的方向温度的陡度是不 同的。因此温度沿不同方 向的导数是不同的。 导数的大小与方向有关 1 r   2 r   1 u u2 . , 1 2 1 2 u u r r     =   