《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 傅里叶变换 5.1 傅里叶级数 5.2 傅里叶积分与傅里叶变换

第五章傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 51傅里叶级数 2周期 周期函数的傅里叶展开; 奇函数和偶函数的傅里叶展开 有限区间中的函数的的傅里叶展开; 复数形式的的傅里叶展开 1.周期函数的傅里叶展开 周期为2的函数x)满足f(x+2)=f(x) 的函数形式与周期是任意的,说道周期与形式是固定的。要通 过三角函数表示f(x),则必须a.改变三角函数的周期为2。b 组合各种周期的三角函数来表现f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族 2 kax COS COS 2I kIx SIn Sl 2…Sn

第五章 傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 5.1 傅里叶级数 • 周期函数的傅里叶展开； • 奇函数和偶函数的傅里叶展开； • 有限区间中的函数的的傅里叶展开； • 复数形式的的傅里叶展开；。 1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x + 2l) = f (x) 2 周期 的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通 过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族：     , ,sin , 2 sin ,sin , ,cos , 2 1,cos ,cos l k x l x l x l k x l x l x      

a.2/周期性 k丌(x+2/) k kz k元 COS COSI /<ln ka+2k兀) sIn 同样 b.按三角函数族展开 f(x)=a+∑{ knax knax a, cos +b, sin (5.1.3) k=1 此为傅里叶级数展开 不同的函数形式由不同的组的a和b表示。 三角函数组具有正交性 1·coS=dx=0(k≠ ddd k dx=0. (5.1 krx COS cos",dx=0(k≠n) k nZN sIn Sin dx=0(k≠m knx cOS dx=0

l k x k l k x l lk l k x l k x l       ) cos( 2 ) cos 2 cos( ( 2 ) cos = + = + = + a. 2l 周期性 b. 按三角函数族展开 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x f x a a k k k     = = + + 不同的函数形式由不同的组的 ak 和 bk 表示。 l kx sin 同样 三角函数组具有正交性      − − − − −  =  =   =   =  =  l l l l l l l l l l dx l n x l k x dx k n l n x l k x dx k n l n x l k x dx l k x dx k l k x cos sin 0. sin sin 0 ( ), cos cos 0 ( ), 1 sin 0, 1 cos 0 ( 0),         (5.1.4) (5.1.3) 此为傅里叶级数展开

因此 d小(0的 其中 (5.15) kts dE 1(k≠0) f(ssin 此为傅里叶系数 此外,三角函数族还有完备性,即这个函数族足够展开任何周期函数。 狄里希利定理 函数和级数并不完全是一个东西,例如幂级数就有收 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 若函数f(z)满足条件(1)处处连续,或在每个周期内只有有限个 第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则三角级数 (5.13)收敛,且 f(), (在连续点x) (5.1.3)= f(x+0)+f(x-0)}.(在间断点x)

因此        = =   − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1          d l k f l b d l k f l a l l k l l k k 其中     = = 1 ( 0) 2 ( 0) k k (5.1.5)  k 此为傅里叶系数 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收 狄里希利定理 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个 第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且     + + − = { ( 0) ( 0)}. ( ) 2 1 ( ), ( ) (5.1.3) f x f x x f x x 在间断点 在连续点

例交流电压E(O)= Eo sin at经过半波整流后的傅立叶级数 2丌 解周期为 E(1)= Eo sin at E(=ao+lak cos kat+b sin kot LU Odt+5 Eo sin otd =o Eo sin odt= Do 2 a,=L[ Eo Sin ot cos kott= Bo[ [sin(1+k)ot +sin(1-k)ordt al eoe sin 2otdt= Eo cos 2ot 0 4 Eno crle sin( 1+k)ot +sin(1-k)otdr 2 Eor cos(1+k)ot cos(1-k)ot rlo Eor(1)*1 (1)- 0 k=2n+1 2E0 2 1+k k 2丌1+k1+k1-k k=2n [1-(2n)]x

例 交流电压 E(t) = E0 sin t 经过半波整流后的傅立叶级数。 解 周期为  2      − = sin [0, ] 0 [ ,0] ( ) 0      E t E t ( ) { cos sin }. 1 0 E t a a k t b k t k  k  k   = = + + , 2 sin 2 [ 0 sin ] 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 0 0              E a = dt + E tdt = E tdt = −     = = + + −             / 0 0 / 0 0 [sin(1 ) sin(1 ) 2 sin cos 1 k t k tdt E a E t k tdt k cos 2 0, 4 sin 2 2 / 0 0 / 0 0 1 = = − =           t E tdt E a      = − = + = − + − − − + + + − = − − − − + + − = + + − + −  2 . [1 (2 ) ] 2 0 2 1 ] 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) [ 2 ] 1 cos(1 ) 1 cos(1 ) [ 2 [sin(1 ) sin(1 ) 2 2 0 1 1 / 0 0 0 / 0 0 k n n E k n k k k k E k k t k E k t k t k tdt E a k k k              -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E b 和b=0 2 EE 2E E(t) —snOt ∑ cos 2not (2n) 频谱E 各个频率分量的幅度 幅度 Eo Eo E 3 15丌 35 频率 通常,函数f(t)表示某系统的按时间变 化的性质,叫在时域中的表示的性质。 而频谱表示这种性质在频域中的表示。 因此,傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换

, 2 0 1 E b = 和 = 0 k b cos 2 . 1 (2 ) 2 1 sin 2 ( ) 1 2 0 0 0   = − = + + n n t n E t E E E t     频谱 0  2 4 6 频率  0 2E 幅度 2 E0 3 2E0 35 2E0 15 2E0 各个频率分量的幅度 通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变 化的性质，叫在时域中的表示的性质。 而频谱表示这种性质在频域中的表示。 因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换

2.奇函数和偶函数的傅里叶展开 kaN kras 是奇函数,s1是偶函数 故奇函数f(2)有 f(x)=∑bsi kA 其中b=[5)smx2 偶函数f(z2)有 f(x)=a+∑ ak cos k 其中 kTs f(s)cos 矩形波 f(x) +1(2m丌,(2m+1)) (2m-1)丌,2m7) 丌 周期2丌奇函数

2.奇函数和偶函数的傅里叶展开 l kx sin 是奇函数， l kx cos 是偶函数。 故 奇函数 f(z) 有 ( ) sin , 1 l k x f x b k k    = = 其中 ( )sin . 1     d l k f l b l l k − = 偶函数 f(z) 有 ( ) cos , 1 0   = = + k k l k x f x a a  其中 ( ) cos . 1      d l k f l a l l k k − = 例 f (x) x 1 −1 0 −  2    − − + + = 1 ((2 1) ,2 ) 1 (2 ,(2 1) ) ( )     m m m m f x 周期 2 矩形波 奇函数

k f(x)=∑bsn ktL k=2 f(5)s,d5 kx08516=[(-1)+]=14 k-2n+1 4 (x) h=(2n+1)Sin(2n+1)x 频域中的图示由你们给出

( ) sin , 1 l k x f x b k k    = = . 2 1 4 0 2 , [ ( 1) ] 2 [ cos ] 2 ( )sin 2 0     − + = = = − = − − + = − k n k k n k k k d l k b f k l l k           sin( 2 1) . (2 1) 4 ( ) 0 n x n f x n + + =   =  频域中的图示由你们给出

3.有限区间中的函数的的傅里叶展开 f(x)定义于(O,A 可以认为它是某个周期为2/的函数在半个周期中的部分。即令此周 期函数为g(x),在半周期(0,0中g(x)=f(x).这种做法叫延拓 例 f(x),g(x) f(x),g(x) f(x)=x,(O,1) 偶延拓 奇延拓

3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0, l). 可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周 期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。 例 f (x), g(x) x f (x), g(x) x 偶延拓 f (x) = x, (0,1) 奇延拓

4.复数形式的的傅里叶 kT e COS 2 e kx sIn e k f(x)=∑ 其中 k=-00 oil,f(sle ] ds 例矩形波 1(2mx,(2m+1)丌 1(2m-1),2m丌) C,= ∫r/(5x-d2=-1- d5+ ds 2 2丌 -il {[1-(-1)]-[(-1)-1} 2I ik x2丌i anik (k=2n) 2 (k=2n+1) i丌(2n+1) 2 f (x)= i(2n+1)x iT ==o 2n+I

4. 复数形式的的傅里叶 , ,, ,1, ,, l , k x i l x i l x i l k x i e e e e     − −        − + =      − − i e e e e l k x l k x l k x i l k x i l k x i l k x i 2 2 sin cos       ( )  ,  =− = k l k x i k f x c e  其中 ( )[ ] . 2 1 *    f e d l c l k x l i l k − = 例 矩形波    − − + + = 1 ((2 1) ,2 ) 1 (2 ,(2 1) ) ( )     m m m m f x ( )  ,  =− = k ikx k f x c e      = + + = = = − = − − − − − = = − + − − − − − − − −   ( 2 1). (2 1) 2 0 ( 2 ) {[1 ( 1) ] [( 1) 1]} 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 0 0 0 0 k n i n k n ik e ik e ik c f e d e d e d ikx ikx k k ikx ikx ikx k                  , 2 1 2 1 ( ) (2 1)   =− + + = n i n x e i n f x 

52傅里叶积分与傅里叶变换 周期函数变为傅里叶级数,被看作周期函数从时域到频域的变换。不过, 1.傅里叶积分 由于时域的函数具有周期性,频域的函数是离散的级数。如果时域的函数 失去周期性,到频域的变换如何实现?频域的函数形式又是什么样的呢? 有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此,失去周期性的时域中的函数的定义域当 为-∞≤x<0。从方便于研究而言,它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。 设g(x)为周期函数,有如下傅里叶展开 8(x)=a+∑ k +b sin k=1 (52.1) △Ok=Ok-0k-1= 则 g(x)=a+∑{a4 COS O,x+ b, sin o,x}△ f(s)cos @,sds, b=,f(5)sm45

5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过， 由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数 失去周期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又是什么样的呢？ 有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当 为 −   x   。从方便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。 设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x g x a a k k k     = = + + 令： , , 1 l l k k k k k       =  = − − = ( ) { cos sin } . 1 0 k k k k k k a x b x l g x a     = +  +   = 则        = =   − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1          f d l b f d l a k l l k k l l k k (5.2.1) 1. 傅里叶积分