《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 复变函数的积分 2.1 积分 2.2 柯西定理 2.3 不定积分 2.4 柯西公式

第二章复变函数的积分 2.1积分 f(zdz -b(Z f r()=uk +iv k+1 X 定义沿曲线l的积分为极限

第二章 复变函数的积分 定义沿曲线 的积分为极限 2.1 积分 l x y k k z = z − z +1 O z l z0 = A zn = B v u  O k k k f (z) = u +iv l f (z)dz

J/()=m∑/((-=) k=0 Lf(d==u(x,y)dx-(x,y)dy 或 +ilv(x, y)dx+u(, y)dy 可看作实矢量场的积分 性质: 1.常数因子可以移到积分号外 2.函数的和的积分等于各函数积分之和, 3.反转积分路径,积分反号 4.全路径上的积分等于各段上积分之和

性质： 1.常数因子可以移到积分号外。 2.函数的和的积分等于各函数积分之和， 3.反转积分路径，积分反号， 4.全路径上的积分等于各段上积分之和。 i v x y dx u x y dy f z dz u x y dx v x y dy l l l ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )    + + = − 或 ( ) lim ( )( ). 1 0 − = → =  −  k k n k k l n f z dz f  z z 可看作实矢量场的积分

分别沿y=x与y=x3算出积分 1 (x+iy)d z 沿y=x x+jy=(1+i) d==(1+i)dx (x2+y)l=(x2+ix)(1+1)k 0 3 1+(2+12)b=(+(

沿 y=x z x iy i x = + = + (1 ) , dz i dx = + (1 ) , 1 1 2 2 0 0 ( ) ( )(1 ) , i x iy dz x ix i dx + + = + +   3 2 1 0 1 1 (1 )( ) (1 )( ) 3 2 3 2 x x = + + = + + i i i i 1 5 6 6 = − + i z

沿y x+ⅸx3,dz=(1+3ix2)ax 1+i 。(x2+2)=(x2+0+3x)k 「(x2-3x2+x2+3x 4 Bix 3645 0 36 又×少 620

沿 3 y x = 3 2 z x ix dz ix dx = + = + , (1 3 ) 1 1 2 2 3 2 0 0 ( ) ( )(1 3 ) , i x iy dz x ix ix dx + + = + +   1 2 5 3 4 0 = − + + ( 3 3 ) , x x ix ix dx  3 6 4 5 1 0 3 3 1 3 3 ( ) 3 6 4 5 3 6 4 5 x x ix ix i i = − + + = − + + 1 17 6 20 = − + i

柯西定理 由于复变函数可以看作平面上的实矢量场,它的积分可以 应用实矢量场的积分来研究闭路/上的积分 u(x, y)dx-v(, ydy 在S 连续,且 ay dx au a Oy ax ay a u(r, y)dx-v(, yay=0 au au 同理 连续,且 Oy Ox →5v(x)+x=0 这两个条件就是柯西一黎曼公式。因此

柯西定理 由于复变函数可以看作平面上的实矢量场，它的积分可以 应用实矢量场的积分来研究闭路 l 上的积分 dxdy x v y u u x y dx v x y dy Sl l    − −   ( , ) − ( , ) = ( ) = 0   +   =   − −   x v y u x v y u x v y u     , 连续，且  ( , ) − ( , ) = 0  u x y dx v x y dy l 同理 y v v u     , 连续，且 = 0   −   x u y v  ( , ) + ( , ) = 0  v x y dx u x y dy l 在 S 这两个条件就是柯西－黎曼公式。因此

柯西定理:在某闭区域解析的函数,它沿此区域边界的 积分为零 奇点 复变函数不可导的点。 孤立奇点复变函数在其有限小邻域可导的奇点。 含孤立奇点的区域,可将其每个奇点的有限小邻域挖掉, 使原区域变为复通区域 E l在A围成的区域中含/()的孤 立奇点C引入曲线Z将此 aBL 奇点挖掉,f(=)余下的区域(复 连通区域)中解析 C

柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的 积分为零。 奇点 复变函数不可导的点。 孤立奇点 复变函数在其有限小邻域可导的奇点。 含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉， 使原区域变为复通区域 E B C D 1 l l F  在 A 围成的区域中含 的孤 立奇点 ，引入曲线 将此 奇点挖掉， 余下的区域（复 连通区域）中解析。 f (z) f (z)  l

D 由柯西定理 a B f(zdz =o, ABCDBAEFA C 或 于f(+()+手()d+f()=0 BA 又 (+f(=0.→§ → f(=)dz+「f(=)d=0 A B BA f八(1=于八(→手()在=()在 1与l方向相反,但与一4方向相同

由柯西定理  = ABCDBAEFA f (z)dz 0, 或 ( ) ( ) ( ) ( ) 0. 1 + + + =     A B l B A l f z dz f z dz f z dz f z dz 又 ( ) ( ) 0. 1 + =   l l f z dz f z dz ( ) + ( ) = 0,   AB BA f z dz f z dz  ( ) ( ) , 1   = − l l f z dz f z dz  ( ) ( ) , 1   − = l l f z dz f z dz l 与 l 1 方向相反，但与 −l 1 方向相同。 B C D 1 l l F 

2.2.柯西定理 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。 2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积 分和为零。 3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。 固定起点和终点,积分路径的连续形变不改变积分 C

2.2. 柯西定理 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。 2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积 分和为零。 3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分  A B   R CR l Sl

个公式 az 2 d(a+Re"o) 2-a 2 Re 2riredp=if do=2ri Re dz o, agS, 2ri Jiz-a C∈ 并且(二-a)=0,整数n≠-1

. 1, 0, 2 1      = −  l l l S S z dz i     并且  − = l n (z ) dz 0, 整数 n  −1 一个公式      = = = + = − = −             2 0 2 0 2 Re Re Re ( Re ) i d i i d d z dz z dz i i C i i l CR R

例2计算1=(2+m)d,C为摆线 x=a(0-sin0) y=a(1-cos0) 从θ=0到θ=2兀的一段 z+Sinz全平面解析,积分 只与起、终点有关。改沿实轴 I=L(x2+sin x)d 8rJ cos 2Ia+1

2 z z + sin 全平面解析，积分 只与起、终点有关。改沿实轴 3 2 2 0 8 ( sin ) cos 2 1 3 a I x x dx a   = + = − +  