浙江大学：《概率论》第五讲 随机变量及其分布(一）

第五讲随机变量及其分布

第五讲 随机变量及其分布 （一）

在前一章,我们学习了随机试验和随机事件概率大 小的计算。随机现象大量存在,基本结果的描述也 千变万化, 如 正面,反面};{男孩,女孩}; 红球,白球,黑球};{1,2,3,4,5,6} 但从概率的定义和前面的实例来看,计算概率 时我们并不关心具体基本结果的描述,而更多 的是一种数量关系

在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率大 小的计算。随机现象大量存在，基本结果的描述也 千变万化， 如 {正面，反面}； {男孩，女孩}； {红球，白球，黑球}； {1,2,3,4,5,6}. 但从概率的定义和前面的实例来看，计算概率 时我们并不关心具体基本结果的描述，而更多 的是一种数量关系

另外,在许多随机试验中,除试验结果之外,往往 有另一个量与每个结果相关联,如赌博时投掷硬币 人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了 多少钱;再如,摸球中奖活动,人们摸中红球、白 球、黑球等时,总是和中几等奖、多少奖金联系起 来。这样,就自然建立了一个对应关系 实际上,给随机试验的每个结果都赋予一个数值, 在样本空间Ω和实数值建立一种对应关系,是我们 应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验 规律的基础

另外，在许多随机试验中，除试验结果之外，往往 有另一个量与每个结果相关联，如赌博时投掷硬币， 人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了 多少钱； 再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白 球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起 来。 这样，就自然建立了一个对应关系。 实际上，给随机试验的每个结果都赋予一个数值， 在样本空间 和实数值建立一种对应关系，是我们 应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验 规律的基础。 

随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了 个相当长的过程,并引起过不少争议。让我们从 离散型随机变量开始

随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一 个相当长的过程，并引起过不少争议。让我们从 离散型随机变量开始

1.离散型随机变量 (1)X(正面)=1,X(反面)=0; (2)X(红球)5,X(白球)2,X(黑球)1; (3)考虑向一单位园圃上投掷飞标,落点位置所组成的 样本空间Ω={(x,y):x2+y2≤1},假如需要根据落点 是否靠近圆心评分,定义如下: 当x2+y2≤1/8时,获10分;当1/8<x2+y2≤1/4 时,获8分;当1/4<x2+y2≤1/2时,获6分;其余 情形,获5分

1. 离散型随机变量 (1) X (正面)=1, X (反面)=0; (2) X (红球)=5, X ( 白球)=2，X (黑球)=1; (3) 考虑向一单位园圃上投掷飞标，落点位置所组成的 样本空间 2 2  = +  {( , ) : 1} x y x y ，假如需要根据落点 是否靠近圆心评分，定义如下： 当 2 2 x y + 1/8时， 获 10 分； 当 2 2 1/8 1/ 4  +  x y 时，获 8 分； 当 2 2 1/ 4 1/ 2  +  x y 时，获 6 分； 其余 情形，获 5 分

概括起来,所谓离散型随机变量,就是样本空间 到实数值上的一个对应关系,并且最多取可数个 不同的值 具体地说,用X:Ω→R表示对应关系,所有可能的 取值记为{x1,x2,…,xn,…} 当然,每个基本结果的出现具有随机性,因此Y取每 个值也具有随机性(严格来讲,要求Y取每个值构成 事件,即:{:X()=xn}?F)。当给定一个概率 空间(S,F,P)时,我们可以计算Y取每个值的概率大 小

概括起来，所谓离散型随机变量，就是样本空间 到实数值上的一个对应关系，并且最多取可数个 不同的值。 具体地说，用X R : → 表示对应关系，所有可能的 取值记为 1 2 { , , , , } n x x x . 当然，每个基本结果的出现具有随机性，因此X 取 每 个值也具有随机性（严格来讲，要求X 取每个值构成 事件，即：{ : ( ) } w w X x = ? n F ）。当给定一个概率 空间(, F, P )时， 我们可以计算X 取每个值的概率大 小

如 (1)假设硬币是均匀的,那么P(X=1)=1/2 P(x=0)=12 假设硬币不均匀,出现正面的概率为3/5,出现反面的 概率为25,那么P(X=1)=3/5,P(X=0)=2/5; (2)假设摸到每个球的可能性相同,那么 P(X=5)=1/3,P(X=2)=1/3, P(X=1)=1/3;

如， (1) 假 设 硬 币 是 均 匀 的 ， 那 么 P X( 1) 1/ 2 = = ， P X( 0) 1/ 2 = = ； 假设硬币不均匀，出现正面的概率为 3/5，出现反面的 概率为 2/5，那么P X( 1) 3/ 5 = = ，P X( 0) 2 / 5 = = ； (2) 假设摸到每个球的可能性相同，那么 P X( 5) 1/3 = = ，P X( 2) 1/3 = = ， P X( 1) 1/3 = = ；

(3)假设随意投掷飞标,即落在每个点是等可能 的,那么 P(X=10)=1/64,P(X=8)=3/64, P(X=6)=3/16,P(X=5)=3/4

(3) 假设随意投掷飞标，即落在每个点是等可能 的，那么 ( 10) 1/ 64, ( 8) 3/ 64, ( 6) 3/16, ( 5) 3/ 4. P X P X P X P X = = = = = = = =

般地, P1=P(0:X(o)=x) 并称 xX1xX X n 2 p1, p 25 为的分布列

一般地， ( : ( ) ) i i p P X x = =   并称 1 2 1 2 , , , , , , , , n n x x x p p p       为 X 的分布列

从前一章有关概率的性质可得: ∑P i=1 2 P≥0

1. 1 i 1 i p  =  = 从前一章有关概率的性质可得： 2. pi  0