浙江大学：《概率论》第六讲 随机变量及其分布(二）

第六讲随机变量及其分布 (二) 2.连续型随机变量

第六讲 随机变量及其分布 （二） 2. 连续型随机变量

在前面我们学习一类离散型随机变量,主要特点是它仅 取有限或可数个值,并且取每个值的概率大于0。但 在实际问题中,我们时常需要考虑另外一类随机变量, 如,随机地向[0,1区间上投点其落点的位置;日光灯 泡的使用寿命;测量误差等,对于这些数量关系,我们 都不可能要求它们取事先指定的可数个值。实际上,它 们在D0,1、(0,∞)和(-∞,+∞)上取值。更为重要的是, 它们取每个给定值的可能性均为0。这时,我们该怎样 刻画这些随机变量呢?

在前面我们学习一类离散型随机变量，主要特点是它仅 取有限或可数个值，并且取每个值的概率大于 0。 但 在实际问题中，我们时常需要考虑另外一类随机变量， 如，随机地向[0,1]区间上投点其落点的位置；日光灯 泡的使用寿命；测量误差等，对于这些数量关系，我们 都不可能要求它们取事先指定的可数个值。实际上，它 们在[0,1]、(0,)和(,)上取值。更为重要的是， 它们取每个给定值的可能性均为 0。 这时，我们该怎样 刻画这些随机变量呢？

让我们从随机地向[O,1区间上投点开始,令X表示其 落点的位置。正如几何概率模型中所说的,X取每个 点的可能性都相同,并且我们可以考虑落在一个区间或 个集合内的概率。 如计算 P(a<X≤b)P(X∈B) 这只与区间长度b-a或B的长度B|有关,即 P(a<X≤b)=b-aP(X∈B)=B

让我们从随机地向[0,1]区间上投点开始，令 X 表示其 落点的位置。正如几何概率模型中所说的， X 取每个 点的可能性都相同，并且我们可以考虑落在一个区间或 一个集合内的概率。 如计算 P(a  X  b) P(X  B) 这只与区间长度b  a或B的长度| B |有关， 即 P(a  X  b)  b  a P(X  B) | B |

正如物理中计算物质质量一样,我们说X具有 均匀概率密度函数 0<x<1 p(x 0,其它

正如物理中计算物质质量一样，我们说 X 具有 均匀概率密度函数 1, 0 1 ( ) 0, x p x       其它

般地,考虑R=(宀,) 函数 p:x③p(x),如果满足 p(x)30 2.O、p(x)dx=1 那么称p(x)为R上的一个概率密度函数

一 般 地 ， 考 虑 R = (- ゥ, ) 一 个 函 数 p : x ® p(x)， 如果满足 1. p(x) ³ 0 2. p(x)dx 1 ¥ - ¥ ò = 那么称 p(x)为R上的一个概率密度函数

注:条件2并不是很强的限制,因为当 p(xdx= M 时,我们可以令p(x)=p(x)/M即可得到 个概率密度函数。 条件1要求p(x)所对应的曲线完全位于x轴的 上方,事实上,曲线上方的面积有着重要的概 率意义

注: 条件 2 并不是很强的限制，因为当 p(x)dx M ¥ - ¥ ò = 时，我们可以令 p (x) p(x) / M * = 即可得到一 个概率密度函数。 条件 1 要求 p(x)所对应的曲线完全位于 x轴的 上方，事实上，曲线上方的面积有着重要的概 率意义

如果一个随机变量X:W③R满足 P(a(Xb)=0(x),"a<b, 那么称X为连续性随机变量,具有概率密度函 数p(x)。 (注意:这里实际上要求{:a≤X()<b}∈F a b)

如果一个随机变量 X : W ® R满足 ( ) ( ) b a P a < X £ b = ò p x dx, " a < b, 那么称 X 为连续性随机变量，具有概率密度函 数 p(x)。 (注意：这里实际上要求{ : a  X ()  b} F , " a < b)

这时,对任何一￥<x<￥,定义 F(x)=P(X￡x)=0,()dlt 称为X的分布函数 从微积分学基本结果知,如果p(x)是连续函 数,那么p(x)是F(x)的导数,即 F(x)=p(x)。如果p(x)不是处处连续的函 数,那么在p(x)的连续点处,仍有 FAx)= p(x)

这时，对任何- ¥ < x < ¥ ，定义 ( ) ( ) ( ) x F x P X x p u du - ¥ = £ = ò 称为 X 的分布函数。 从微积分学基本结果知，如果 p(x) 是连续函 数 ， 那 么 p(x) 是 F(x) 的 导 数 ， 即 F¢(x) = p(x) 。如果 p(x) 不是处处连续的函 数 ， 那 么 在 p(x) 的 连 续 点 处 ， 仍 有 F¢(x) = p(x)

不难看出F(x)具有下列性质 0≤F(x)≤1,limF(x)=0,limF(x)=1 x→-00 x→)+oo 2.F(x)单调增加 3.F(x)处处连续 注:对于连续型随机变量,我们更多地使用 密度函数,因为它常常更简洁、更具有特

不难看出F(x)具有下列性质： 2. F(x) 单调增加 1. 0  F(x) 1， lim ( ) 0 x F x   ， lim ( ) 1 x F x   3. F(x)处处连续 注：对于连续型随机变量，我们更多地使用 密度函数，因为它常常更简洁、更具有特 色

连续型随机变量的例子: (1).均匀分布 如果随机变量X在[O,1上取值,并且取每 个值是等可能的,即具有概率密度函数 ,a≤x≤b p(x=b-a 0,其它 那么称X服从[0,上的均匀分布,记作 X:U[a,b]

连续型随机变量的例子： (1). 均匀分布 如果随机变量 X 在[0,1]上取值，并且取每 个值是等可能的，即具有概率密度函数 1 , a ( ) 0, x b p x b a 其它          那么称 X 服从[0,1] 上的均匀分布，记作 X : U[a,b]