四川大学：《常微分方程》课程教学资源（作业习题）习题解答八

第四章习题与思考 6.求解方程组 (1)装=-3x+48-282,出=-4x+40y-22 =-6x+57y-31z. (2)=y,出 (3 5x+5y+10z =2x+4y+9z (第二出x二2 =-4x-y (1)该方程组的系数矩阵为 348 657-31 它有3个彼此互异的特征根A1=1,A2=2,A3=3,其对应的特征向量分别为c1=(3,2,3)2, c2=(4,1,1)2,c3=(2,2,3)2.由此得原方程组的通解为 =3C1e+4C2e2+2C3 y=2C1e2+C2e2+2C3e3 =3C1e2+C2e2+3C3e3, 其中C1,C2,C3为任意常数 (2)该方程组的系数矩阵为 A= 10 易见 因此原方程组有基本解矩阵 exp(At) 量-旨 由此得原方程组的通解为 r= Ci cost+ C2 sin t y=-CI sin t+C2 cost, 其中C1,C2为任意常数 (3)该方程组的系数矩阵为 -5-10-20 5510 249

1 第四章习题与思考 6. 求解方程组： (1) dx dt = −3x + 48y − 28z, dy dt = −4x + 40y − 22z, dz dt = −6x + 57y − 31z. (2) dx dt = y, dy dt = −x. (3) dx dt = −5x − 10y − 20z, dy dt = 5x + 5y + 10z, dz dt = 2x + 4y + 9z. (4) dx dt = 3x − y, dy dt = −4x − y, dz dt = 4x − 8y − 2z. 解: (1) 该方程组的系数矩阵为 A =   −3 48 −28 −4 40 −22 −6 57 −31   . 它有 3 个彼此互异的特征根 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, 其对应的特征向量分别为 c1 = (3, 2, 3)T , c2 = (4, 1, 1)T , c3 = (2, 2, 3)T . 由此得原方程组的通解为    x = 3C1e t + 4C2e 2t + 2C3e 3t y = 2C1e t + C2e 2t + 2C3e 3t z = 3C1e t + C2e 2t + 3C3e 3t , 其中 C1, C2, C3 为任意常数. (2) 该方程组的系数矩阵为 A =   0 1 −1 0   . 易见: A 2 = −T, A3 = −A, A4 = I, · · · , 因此原方程组有基本解矩阵 exp(At) =    1 − t 2 2! + t 4 4! + · · · 1 − t 3 3! + t 5 5! + · · · −1 + t 3 3! − t 5 5! + · · · 1 − t 2 2! + t 4 4! + · · ·    =   cos t sin t − sin t cos t   . 由此得原方程组的通解为    x = C1 cos t + C2 sin t y = −C1 sin t + C2 cos t, 其中 C1, C2 为任意常数. (3) 该方程组的系数矩阵为 A =   −5 −10 −20 5 5 10 2 4 9  

它有3个彼此互异的特征根A1=5,A2=2+i,A3=2-i,其对应的特征向量分别为 c1=(-2,0,1)2,c2=(3+i,2-i,-2),c3=(3-i,2+i,-2)2.因此原方程组有复基本解 x()=0(2-1)e2+)(2+le(2-0 2e(2+)t 考虑X(t)的实部得原方程组的通解为 2C1e+C2 3 +C3(cost+3sin t)e y= C2(2 cost +sin t)e2+C3(-cost+2sint)e 其中C1,C2,C3为任意常数 (4)该方程组的系数矩阵为 它有单特征根=-2和二重特征根A2=1.对A1=-2,其对应的特征向量为c1=(0,0,1)2 对A2=1求(A-A2D)2c=0的非平凡解,即求解线性方程组 000 000c=0 得到两个线性无关的解c20=(1,1,-8)2和c3o=(5,-4,4)2.由此递推得 c21=(A-A21)c2o=(3,-6,20)2 最后得到基本解矩阵 X(t)=(ciei, e 2 (c20+ic21),e 2 (c30+ics1)) 由此得原方程组的通解为 C2(1-6f)e+C3( z=C1e-2+C2(-8+201)e2+C3(4+40t)e, 其中C1,C2,C3为任意常数 7*.给定齐次方程组文=Ax,其中A为常数值矩阵.证明 (1)若A的所有特征根实部都0,则有解当t→+∞时趋向无穷 证明:设矩阵A有互不相同的特征根A1,…,As,重数分别为m1,…,ns且n1+n2+ 则齐次方程组文=Ax的任一解x(t)均有形式 (t) 1Pi(t), 其中P(t)为多项式且degP()≤ny-1

2 它有 3 个彼此互异的特征根 λ1 = 5, λ2 = 2 + i, λ3 = 2 − i, 其对应的特征向量分别为 c1 = (−2, 0, 1)T , c2 = (3 + i, 2 − i, −2)T , c3 = (3 − i, 2 + i, −2)T . 因此原方程组有复基本解 矩阵 X(t) =   −2e 5t (3 + i)e (2+i)t (3 − i)e (2−i)t 0 (2 − i)e (2+i)t (2 + i)e (2−i)t e 5t −2e (2+i)t −2e (2−i)t   . 考虑 X(t) 的实部得原方程组的通解为    x = −2C1e 5t + C2(3 cos t − sin t)e 2t +C3(cos t + 3 sin t)e 2t y = C2(2 cos t + sin t)e 2t + C3(− cos t + 2 sin t)e 2t z = C1e 5t − 2C2e 2t cos t − 2C3e 2t sin t, 其中 C1, C2, C3 为任意常数. (4) 该方程组的系数矩阵为 A =   3 −1 0 −4 −1 0 4 −8 −2   . 它有单特征根 λ1 = −2 和二重特征根 λ2 = 1. 对 λ1 = −2, 其对应的特征向量为 c1 = (0, 0, 1)T . 对 λ2 = 1 求 (A − λ2I) 2 c = 0 的非平凡解, 即求解线性方程组   0 0 0 0 0 0 28 44 9   c = 0. 得到两个线性无关的解 c20 = (1, 1, −8)T 和 c30 = (5, −4, 4)T . 由此递推得 c21 = (A − λ2I)c20 = (3, −6, 20)T , c31 = (A − λ2I)c30 = (6, −12, 40)T . 最后得到基本解矩阵 X(t) = (c1e λ1t , eλ2t (c20 + t 1! c21), eλ2t (c30 + t 1! c31)) =   0 (1 + 3t)e t (5 + 6t)e t 0 (1 − 6t)e t (−4 − 12t)e t e −2t (−8 + 20t)e t (4 + 40t)e t   . 由此得原方程组的通解为    x = C2(1 + 3t)e t + C3(5 + 6t)e t y = C2(1 − 6t)e t + C3(−4 − 12t)e t z = C1e −2t + C2(−8 + 20t)e t + C3(4 + 40t)e t , 其中 C1, C2, C3 为任意常数. 7 ∗ . 给定齐次方程组 x˙ = Ax, 其中 A 为常数值矩阵. 证明 (1) 若 A 的所有特征根实部都 0, 则有解当 t → +∞ 时趋向无穷. 证明: 设矩阵 A 有互不相同的特征根 λ1, · · · , λs, 重数分别为 n1, · · · , ns 且 n1 + n2 + · · · + ns = n, 则齐次方程组 x˙ = Ax 的任一解 x(t) 均有形式: x(t) = Xs j=1 e λj tPj (t), 其中 Pj (t) 为多项式且 degPj (t) ≤ nj − 1

(1)若A的所有特征根实部都0,不妨设A1=a+i的实部a>0.设n是A相应于A1的特征向 量,则方程组文=Ax有解x(t)=e21n.显然有 m‖x(t)l=. lim le nl= lim eat inll=+∝ 因此方程组文=AX有解当t→+∞时趋向无穷

3 (1) 若 A 的所有特征根实部都 0, 不妨设 λ1 = α + iβ的实部 α > 0. 设 η 是 A 相应于 λ1 的特征向 量, 则方程组 x˙ = Ax 有解 x(t) = e λ1t η. 显然有 lim t→+∞ ||x(t)|| = lim t→+∞ ||e λ1t η|| = lim t→+∞ e αt||η|| = +∞. 因此方程组 x˙ = Ax 有解当 t → +∞ 时趋向无穷