《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十三章 流形上微积分学初阶

维欧氏空间与向量函数

n维欧氏空间 n维向量空间的概念 所有n个有序实数组(x1,x2,…xn)的全体 称为n维向量空间,或简称n维空间,其中每个 有序实数组称为n维空间中的一个向量,记作 / 记号x7表示向量x的转置

一 、n维欧氏空间 称为 n维向量空间 ,或简称 n维空间 ,其中每个 所有 n个有序实数组 ( x1 , x2 , x n )的全体 有序实数组称为 n维空间中的一个向量 ,记作 . 2 1        n x x x x  记号 x 表示向量 x的转置 . T • n维向量空间的概念

内积的桡念 设x=(x1,x2 =( y T 1929 是n维空间中的任意两个向量,则 T xy=1y1+x2y2+…+xnJn 称为向量x与y的内积 设a.为任意实数,则向量x与p之和为 x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn) 数量a与向量x的数乘积为 ax=(ax1+ax2+…+axn

• 内积的概念 T n T n x ( x , x , x ) , y ( y , y , y ) 设  1 2   1 2  是n维空间中的任意两个向 量,则 n n T x y  x y  x y    x y 1 1 2 2 称为向量 x与y的内积 . 设为任意实数 ,则向量 x与y之和为 ( , , , ) . 1 1 2 2 T n n x  y  x  y x  y  x  y 数量 与向量 x的数乘积为 ( ) . 1 2 T n x  x  x    x

积的性质 (1)xx≥0,当且仅当x=0时,xx=0; (2)x'y=y'x (3)a(xy)=(ax)y=xr(ay),a为实数; (4)(x+y)z=xz+y乙

• 内积的性质 (1) x x  0, x  0 , x x  0; T 当且仅当 时 T (2) x y y x; T T  (3)  ( x y) (x) y x (y),为实数 ; T T T   (4) ( x y) z x z y z. T T T   

n稚欧氏空间的概念 定义了内积的n维空间叫做n维欧几里得 Euclid)空间(简称n维欧氏空间),记作Rn 利用内积定义向量x∈R"的模为 x=(xx =②2x R"中任意两点x与y间的距离定义为 px1/=∑x子

• n维欧氏空间的概念 定义了内积的 n维空间叫做 n维欧几里得 ( ) ( ), . n Euclid 空间 简称 n维欧氏空间 记作 R 利用内积定义向量 x  R n的模为 ( ) ( ) . 2 1 1 2 2 1    n i i T x x x x R n中任意两点 x与y间的距离定义为 ( , ) ( ) . 2 1 1 2             n i i j  x y x y x y

向量模的性质 (1)|x≥0,当且仅当x=0时,x=0; (2)axl=lxa为实数; (3)|x+ylsx+y(三角不等式 (4)|xyls|ly(柯西一施瓦茨不等式)

• 向量模的性质 (1) x  0,当且仅当 x  0时, x  0; (2) x   x ,为实数 ; (3) x  y  x  y (三角不等式 ); (4) x y x y (柯西 — 施瓦茨不等式 ). T 

二,向量函数 定义 若xcR",ycR”,是X×Y的一个子集, 对每一个x∈X,都有惟一的一个y∈Y,使 (x,y)∈f,则称/为X到Y的向量函数,记作 ∫f:X→Y, r h y, 其中X称为函数f的定义域

二、向量函数 • 定义 若x R , y R , f是X Y的一个子集 , n m    对每一个 x  X ,都有惟一的一个 y  Y ,使 ( x, y)  f ,则称 f为X到Y的向量函数 ,记作 , : , x y f X Y   其中 X称为函数 f的定义域

三,向量函数的极限与连续 定义1 设 DCXCR",a是D的聚点,f:X→Rm 若存在l∈R",VE>0,U(l;E)cRm,总彐δ>0 使得U(ai;δ)cR",∫(U°(a;♂)∩D)cU(l;E), 则称在集合D上当x→时,以为极限,记作 im∫(x)=l x∈D

三、向量函数的极限与连续 • 定义1 , , : . n m 设D  X  R a是D的聚点 f X  R 若存在  ,  0, ( ; )  ,总  0 m m l R U l R U (a; ) R , f (U (a; ) D) U (l; ), n    使得   则称在集合 D上当 x  a时, f以l为极限 ,记作 lim f ( x) l. x D x a   

几何描述 f 0(;8 U°(a;) R R

• 几何描述 n R a U (a; )  m R f l U (l; )

定义2 设 DEXCR",a∈D,f:X→R",若VE>0, 彐δ>0,使得∫(U(a;δ)∩D)cU(f(a);E), 则称点a关于集合D连续 若在D上每一点都连续,则称/为D上的连续 函数

• 定义2 设   ,  , :  .若  0, n m D X R a D f X R   0,使得 f (U (a; )  D)  U ( f (a); ), 则称 f在点 a关于集合 D连续 . 若f在D上每一点都连续 ,则称 f为D上的连续 函数