《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十二章 曲面积分

第二十二章曲面积分 ★§1第一型曲面积分 ★§2第二型曲面积分 3高斯( Gaussi公式

第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯(Gauss)公式

第二十二章曲面积分 §1第一型曲面积分

第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分

概念的引入 实例若曲配是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动 20

一、概念的引入 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动

、概念的引入 实例2 p(x,y,x)三 分割n△S;△S;也 i块曲面的面积 2000 取近似V(5,n,5)∈△S △M;≈p(5,m;5)·△S 求和M≈∑p(5,m;5;)△S 取极限M=lim∑p(41,m,h;)△S 1-0=1

一、概念的引入 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连续函数 (x, y,z), 求它的质量. 实例 分割 取近似 求和 ( , , ) . 1  =    n i M   i i  i Si 取极限 lim ( , , ) . 1 0  → = =   n i M   i i  i Si  把分成n小块Si（Si也 表示第i小块曲面的面积）. ( i ,i , i )Si i i i i i M  ( , , ) S

二、对面积的曲面积分的定义 1.定义曲面∑是光滑的f(x,y,z)∑ ∑ 分成n小块△S;△S;同时也i (951,n;5;)△Sz f(5,;5;)·△S;∑f(5;,m1,51)AS →0 f(x,y, 2) ∑对 面积的曲面积分第一类曲面积分 被积函数 f(x, y, z)ds Ⅱf(x,y2dS=mm∑f(5,m,5△S 积分曲面<(Σ

二、对面积的曲面积分的定义 设曲面是光滑的, 函 数 f (x, y,z)在上有界.把 分 成n小 块Si（Si同时也表示第i小块曲面的面 积 ）,设 点( , , )  i i  i 为Si上任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f    Si , 并作和  =  n i i i i f 1 ( , , ) Si , 若当各小块曲面直径的最大值 → 0时, 和式的极 限存在, 则称此极限为函数 f (x, y,z)在曲面上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分. 记 为 1.定义   f (x, y,z)dS. 即   f (x, y,z)d S i i i n i =  f i S → = lim ( , , ) 1 0     被积函数 积分曲面

2对面积的曲面积分的性质 1)』0(x,,x)ds=k』(x,x)aS; (2)If(x,y, z)+g(x, y, z)]ds ∫f(x,y,z)S+』g(x,y,z)s (3)若Σ可分为分片光滑的曲面∑及∑2,则 ∫f(x,y,z)s=」f(x,y,x)S+』g(x,y,x)dS 特别,当f(x,y,x)≡1时,∫=的面积

2.对面积的曲面积分的性质 (3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则 (1) ( , , ) ( , , ) ;     kf x y z dS = k f x y z dS   (2) [ f (x, y,z) + g(x, y,z)]dS ( , , ) ( , , ) ;     = f x y z dS + g x y z dS ( , , ) ( , , ) ( , , ) . 1 2       f x y z dS = f x y z dS + g x y z dS 特别，  = 的面积。  当 f (x, y,z)  1时， dS

、计算法 Σ:z=(x,y) 1.若曲面∑:z=z(x,y); 5,7;5) AS≈√1+2(5,m)+2(5,m)(0),/。 ,m) (△G;) ∫f(x,y,z)S=lm∑f(5,mn,5;)△S im∑m5;,n,x(5,n)1+x2(5,m)+x15,mn)(△a) 2→)0 ∫1x,y,(x,y)

三、计算法 1. 若曲面  : z = z(x, y); 1 ( , ) ( , ) ( ) , 2 2 i x i i y i i i xy S  + z   + z    i xy ( ) ( , )  i i Si x y z  : z = z(x, y) o ( , , )  i i  i 则   f (x, y,z)dS i i i n i =  f i S → = lim ( , , ) 1 0      → = = + +  n i i i i i x i i y i i i xy f z z z 1 2 2 0 lim [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) (  )  [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dx y  x y = +  + 

若曲面Σ:z=z(x,y);则 f(x,y, z)ds fIx,y, (x, y)11+zx+zy dxdy 投:将曲面Σ向xy面投影,得Dy 二换:aS=1+2(x,y)+x3x,y)d 三代:f(x,,2:z=x(x,f(x,y,z(x,y);

( , , ( , )); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y z x y  z = z x y 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS z x y z x y dxdy = + x + y . Dxy 将曲面 向 xoy 面投影，得 ( , , ) [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z d S f x y z x y z z dxdy Dx y   x y = +  +  1. 若曲面  : z = z(x, y); 则 三代： 二换： 一投：

2.若曲面∑:y=y(x,z)则 ∫(x,y)s=』/x,y(x,x,l1+y2+y2adt 投:将曲面Σ向xz面投影,得Dxz 二换:S=√+y2(x,x)+y2(x,x)th; 代:f(x,y,z) ∑:y=y(x,z) f(x, y(x, 2), 2);

[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dx z  x z = +  +   f (x, y,z)dS ( , ( , ), ); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y x z z  y = y x z 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS y x z y x z dxdz = + x + z . 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz 则 三代： 二换： 一投： 2. 若曲面 ： y = y ( x,z )

3.若曲面∑:x=x(y,z)则 SSf(x, J, z)dS=5[x(, 2), ),z1v/+xy2+x2 dydz. 投:将曲面Σ向yoz面投影,得Dpz 二换:S=√1+x2(y)+x2(y,)dt 三代:f(x,,:x=x(0,) f(x(, 2),y, )

[ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz  y z = +  +   f (x, y,z)dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则 三代： ( ( , ), , ); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y z y z  x = x y z 二换： 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS x y z x y z dydz = + y + z 一投： . Dyz 将曲面 向 yoz 面投影，得