《计算方法课程复习》第六章矩阵特征值与特征向量复习

第六章矩阵特征值与特征向量 、考核知识点: 乘幂法、逆幂法、雅可比法 考核要求 1.知道乘幂法,逆幂法的基本思想;会用乘幂法求矩阵的特征值与特征向 2.知道雅可比法的基本思想;会用雅可比法计算对称矩阵的特征值与特征 向量 重、难点分析 例1已知4=21 用乘幂法求入,日 说明:乘幂法是求实方阵A的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法 逆幂法是求实方阵A的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法。 注意:初始值X。不能取零向量 解取X0=(111)y,用乘幂法迭代公式X1=AX,k=0 计算如下表 k 0 2 9 9 27 (11 例2用雅可比法求A=3的全部特征值与特征向量。 注意:平面旋转矩阵R的元素的排列顺序和旋转角的确定

第六章 矩阵特征值与特征向量 一、考核知识点： 乘幂法、逆幂法、雅可比法 二、考核要求： 1．知道乘幂法，逆幂法的基本思想；会用乘幂法求矩阵的特征值与特征向 量。 2．知道雅可比法的基本思想；会用雅可比法计算对称矩阵的特征值与特征 向量。 三、重、难点分析 例 1 已知         = 1 2 2 1 A ，用乘幂法求 1 1 ，e 说明：乘幂法是求实方阵 A 的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。 逆幂法是求实方阵 A 的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法。 注意：初始值 X 0 不能取零向量。 解 取 T X (1 1 1) 0 = ，用乘幂法迭代公式 Xk+1 = AXk ，k = 0,1,  计算如下表 k ( ) 1 k x ( ) 2 k x ( ) 3 k x 0 1 1 1 1 3 3 3 2 9 9 9 3 27 27 27 3 (2) (3) 1  = i i x x  , T x x e (1,1,1) 2 2 1 = =  例 2 用雅可比法求             = 3 2 3 4 3 A 的全部特征值与特征向量。 注意：平面旋转矩阵 R 的元素的排列顺序和旋转角的确定

解雅可比法是求对称矩阵的全部特征值与特征向量的变换方法 p=9q=3,,6=:,cos6= √3 √3 A=RI ARI 2 5 2 所以 入1=5, 2=3,x2=(010)y

解 雅可比法是求对称矩阵的全部特征值与特征向量的变换方法。 p = 9,q = 3， ， 6   = ， 2 3 cos = ， 2 1 sin  =               −                           − = = 2 3 2 1 1 2 1 2 3 3 2 3 4 3 2 3 2 1 1 2 1 2 3 A1 R1 AR1 T           =               −               − = 1 3 5 2 3 2 1 1 2 1 2 3 2 3 2 1 3 2 5 3 2 5 所以 T ，x （ ） 2 1 0 2 3 1 = 5 1 = ， 2 = 3 , T x (0 1 0) 2 = 3 =1, T x         = − 2 3 0 2 1 3