《计算方法课程复习》第七章非线性方程求根复习

第七章非线性方程求根 、考核知识点: 区间二分法,弦位法(单点弦法、双点弦法)、切线法、一般迭代法,收敛 考核要求 1.熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。 2.熟练掌握用单点弦法、双点弦法求方程近似根的方法。了解其收敛性。 3.熟练掌握用切线性求方程近似根的方法。了解其收敛性 4.掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。了解其收敛性, 三、重、难点分析 例1证明计算a(a>0)的切线法迭代公式为 2(xn+,n=0 并用它求√2的近似值(求出x,即可) 解(1)因计算√a等于求x2-a=0正根,f(x)=x2-a,f(x)=2x 代入切线法迭代公式得 Mn+i=x x2 n=0.1 (2)设f(x)=x2-2,因f(1)=12-2=-10 所以x=√2∈[:5 在[1,1]上f(x)=2x>0f(x)=2>0 由f(x)f"(x)≥0,选x=1.5 用上面导出的迭代公式计算得x1=(x+-)=,≈14167

第七章 非线性方程求根 一、考核知识点： 区间二分法，弦位法（单点弦法、双点弦法）、切线法、一般迭代法，收敛 性。 二、考核要求： 1．熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。 2．熟练掌握用单点弦法、双点弦法求方程近似根的方法。了解其收敛性。 3．熟练掌握用切线性求方程近似根的方法。了解其收敛性。 4．掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。了解其收敛性。 三、重、难点分析 例 1 证明计算 a(a  0) 的切线法迭代公式为： ( ), 0,1, 2 1 +1 = + n = x a x x n n n 并用它求 2 的近似值（求出 1 x 即可） 解 （1）因计算 a 等于求 0 2 x − a = 正根， f x = x − a 2 ( ) ， f (x) = 2x 代入切线法迭代公式得 ( ) 2 1 2 2 1 n n n n n n x a x x x x + = x − = + n = 0,1,  (2) 设 ( ) 2 2 f x = x − ，因 (1) 1 2 1 0, 2 f = − = −  (1.5) 1.5 2 0 2 f = −  所以 2 1,1.5 * x =  在 1, 1.5 上 f (x) = 2x  0 f (x) = 2  0 由 f (x0 ) f (x)  0 ，选 x0 =1.5 用上面导出的迭代公式计算得 1.4167 12 17 ) 2 ( 2 1 0 1 = 0 + =  x x x

例2用单点弦法求方程x3-5x+1=0的最小正根(计算出x) 解:由于f(0)=1>0,f(0.5)=-1.3750,故x∈[005, 在00]上,f(x)=3x2+4>0,f(x)=6x≥0 m,=minIf'(x)=4, M2=max/"(x)=3 K R0,故x∈005] 在005]上将x3+4x-2=0,同解变形为 P(r)

例 2 用单点弦法求方程 5 1 0 3 x − x + = 的最小正根(计算出 1 x ) 解：由于 f (0) = 1  0, f (0.5) = −1.375  0 则 [0, 0.5] * x  在[0，0.5]， ( ) 3 5 0, ( ) 6 0, 2 f  x = x −  f  x = x  由 f (c) f (x)  0, 取 c = 0, x0 = 0.5 则单点弦法迭代公式 ( 5 1) 0,1, 5 1 ( 5 1), 1 5 1 0 3 2 3 1 3 − + = − = + − + − + − − + = − x x n x x x x x x x x x n n n n n n n n n n n 计算得 0.21 4.75 1.375 x1 = 0.5 −  例 3 用双点弦法，一般迭代法求 4 2 0 3 x + x − = 的最小正根（求出 2 x 即可）。 解 （1）用双点弦法 因 f (0) = −2  0， f (0.5) = 0.125  0 ，故 0,0.5 * x  ， 在 0,0.5 上， ( ) 3 4 0 2 f  x = x +  ， f (x) = 6x  0 m1 = min f (x) = 4,M2 = max f (x) = 3， 2 1 , 8 3 2 1 2 = = R  m M K ， 1 16 3 KR   取 x0 = 0， x1 = 0.5 ，用双点弦迭代公式 ( 4 2) ( 4 2) ( 1)( 4 2) 1 3 1 3 3 1 + − − + − − − + − = − − − + n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ，n =1,2,  计算得 0.47 17 8 x2 =  （2）用一般迭代法 因 f (0) = −2  0， f (0.5) = 0.125  0 ，故 0,0.5 * x  在 0,0.5 上将 4 2 0 3 x + x − = ，同解变形为 (2 ) ( ) 4 1 3 x = − x =  x

则p=mxp(x)=mx 取x=0.5,应用迭代公式 xn+1=(2-x2),n=0,1, 计算得 ≈0.47425 例4求方程f(x)=0的根时, 用切线法求具有()收敛速度 用单点弦法求具有()收敛速度 用双点弦法求具有()收敛速度 用一般迭代法求具有()收敛速度

则     1 16 3 4 3 max ( ) max 2 0,0.5 0,0.5 =  = =    x x x x   取 0.5, x0 = 应用迭代公式 (2 ) 4 1 3 n 1 n x = − x + ，n = 0,1,  计算得 32 15 ) 8 1 (2 4 1 x1 = − = 0.47425 32 15 2 4 1 3 2                x = − 例 4 求方程 f (x) = 0 的根时， 用切线法求具有（ ）收敛速度。 用单点弦法求具有（ ）收敛速度。 用双点弦法求具有（ ）收敛速度。 用一般迭代法求具有（ ）收敛速度