《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十一章 反常积分

751反常积分概念 52无分积分性质与收敛_

§1 反常积分概念 §2 无穷积分的性质与收敛判别

第十一章反常积分 81反常积分概念

§1 反常积分概念

.引入 例:求曲线y=2,x轴及直线x=,右边所围成的“开口 曲边梯形”的面积 解:由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 y 向是开口的,即这是的积 分区间为[1,∞) b x 故vb>1则的面积对= 显然当b改变时,曲边梯形的面积也随之改变, 故b→+2时,即mn∫=m(-)=1 则所求曲边梯形的面积为1

一 . 引入 例： 曲边梯形”的面积。 求曲线 , 轴及直线 1，右边所围成的“开口 1 2 = x x = x y 0 x y 1 b 2 x 1 y = 解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这是的积 分区间为[1，∞）， x b dx x b A b b 1 ] 1 1 [ 1 1,   1 2 = − 1 = − 故 则 的面积为 显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变， ) 1 1 lim (1 1 lim 1 2 → + = − = →+ →+  b dx x b b b b 故 时，即 则所求曲边梯形的面积为1

问题的提出 前面遇到的定积分∫(x)dx是普通的积 a、b是确定的常数,且f(x在Ia,b 上连续。 那么如何计算下列两种类型的积分? (1)∫"f(x)d;.f(x)d;。f(x)d (2)∫f(x)这里(x)在或或c (c处于a与b之间)无界

一 问题的提出 前面遇到的定积分  b a f (x)dx 是普通的积 分， a、b 是确定的常数，且 f (x) 在 [a,b] 上连续。 那么如何计算下列两种类型的积分？    +  − − +  f x dx f x dx f x dx b a (1) ( ) ; ( ) ; ( ) （ 处 于 与 之间）无界。 这 里 （ ） 在 或 或 c a b f x dx f x a b c b a (2) ( ) , 

二无穷限的广义积分 定义1设函数∫(x)在区间{a,+⑩)上连缤,取 b>a,如果极限Ⅷm∫(x)d存在,则称此极 b++0 限为函数∫(x)在无穷区间[a,+0)上的反常积分 记作」。f(x)d x)dx= lim f(x)dx f(x) b→+0a 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在 时,称反常积分发散

定 义 1 设函数 f ( x ) 在 区 间 [ a , +  ) 上 连 续 ， 取 b  a ， 如 果 极 限  → +  b a b lim f ( x ) d x 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 f ( x ) 在 无 穷 区 间 [ a , +  ) 上 的 反 常 积 分 ， 记 作  +  a f ( x ) d x .  + a f (x)dx  →+  = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称 反 常 积分收敛 ； 当 极 限 不 存 在 时，称 反 常 积分发散 . 二 无穷限的广义积分

类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b上连续,取 b a<b,如果极限im「mf(x)d存在,则称此极 oo 限为函数∫(x)在无穷区间(-∞,b上的广义积 分,记作f(x)dk f(x)dx= lim f(x)dx 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在 时,称反常积分发散

类似地，设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a  b，如果极限  →−  b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b] 上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx  →−  = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称 反 常 积分收敛 ； 当极限不存在 时，称 反 常 积分发散

设函数∫(x)在区间(-1,+10)上连缤,如果 广义积分.f(x)d和∫。∫(x)都收敛,则称上 述两反常积分之和为函数∫(x)在无穷区间 0,切)上的反常积分,记作∫。f(x) mf()dx=r f(xdx+5*f(r)dx limSf()dx +liml f(x)dx 极限存在称反常积分收敛;否则称反常积分发散

设 函 数 f ( x ) 在 区 间 ( −  , +  ) 上 连 续 , 如 果 广 义 积 分  −  c f ( x ) dx 和  +  c f ( x ) dx 都 收 敛 ， 则 称 上 述 两 反 常 积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间 ( −  , +  ) 上 的 反 常 积分，记作  +  −  f ( x ) d x .  + − f (x)dx = − c f (x)dx +  +  c f (x)dx =  →−  c a a lim f (x)dx +  →+  b c b lim f (x)dx 极限存在称 反 常 积分收敛；否则称反常 积分发散

上述反常积分统称为无穷限的反常积分; 由牛顿莱布尼茨公式,可得 设F'(x)=f(x),则 ∫f(xlt=imF(x)-F(a) b f(x)dx=F(b-lim F(x) f(xdx= lim F(x)-lim F(x)

上述反常积分统称为无穷限的反常积分； 由牛顿-莱布尼茨公式，可得 设F(x) = f (x)，则  + a f (x)dx lim F(x) F(a) x = − →+  − b f (x)dx F(b) lim F(x) x→−  = −  + − f (x)dx lim F(x) a→−  lim F(x) − x→+  =

X 例1计算反常积分 1+x +oo d x +∞a℃ 解 1+x2J∞1+x2J01+x2 b im dx+ lim dx 1+x b-→+∞01+y lim arctan]+ lim arctanxlo b→)+ =-lim arctan a+ lim arctan= = a→-0 b→+0 2)2

例1 计算反常积分 . 1  2 + − + x dx 解  + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx  + + + 0 2 1 x dx  + = →−  0 2 1 1 lim a a dx x  + + →+  b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →−  =   b b arctan x 0 lim →+  + a a lim arctan →−  = − b b lim arctan →+  + . 2 2 =    +       = − −

例2判定反常积分的敛散性 解 dx= i b -px dx b→>+9a e pr 7b e pb p,0 b→叫P p0时收敛,当p<0时发散 显然P=0广d发散

例 2 判定反常积 分 + − a p x e dx的敛散性.  + − a px e dx  − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e       = − − →+  lim       = − − − →+  p e p e pa pb b lim         = − , 0 , 0 p p p e ap 即当p  0时收敛，当p  0时发散. 解 显然 P = 0  发散 + a dx