《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十二章 数项级数

第二章、数数 ★§1级数的收敛性 §2正项级数 §3一般项级数

§1 级数的收敛性 §2 正项级数 §3 一般项级数

△ 女 §1级数的收敛性

§1 级数的收敛性

问题的提出 1.计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积a1+a2 正3×2"形的面积a1+a2+…+an 即A≈a1+a2+…+an 33 3 3 2 3101001000 10

1. 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积 1 a 1 2 a  a 正3 2 n形的面积 n a  a  a 1 2 n A  a  a  a 即 1 2     n  10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 2. 一 、问题的提出

◆无穷级数的概念 1。无穷级数的定义 设有数列{un}:122…,tn2…,则称表达示 ∑ L1+l2+…+ln+ 为一个无穷级数,简称为级数.其中,vn称为级 数的一般项或通项

设有数列{un}:u1 , u2 , …, un , …, 则称表达示        n n un u1 u2 u 1 为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项

若级数∑n的每一个项均为常数,则称该 级数为常数项级数;若级数的每一项均为同一个 变量的函数1=12(x),则称级数∑n(x)函数项 n=1 级数

若级数   n1 un 的每一个项un均为常数，则称该 级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数 ( ) 1 u x n  n   为函数项 级数

例1.下列各式均为常数项级数 ∑ +∴+— 2 ∑ n=1+2+…+n+ ∑(-1) 1+1-1+…+(-1)"+ cosn= cos1+coS 2+...+ cosn

例1. 下列各式均为常数项级数 ； 2 1 4 1 2 1 2 1 1        n n n 1 2 ; 1        n n n ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ; 1 1  1             n n n cos cos1 cos 2 cos . 1        n n n

例2.下列各式均为函数项级数 ∑(-1)"xn1=1-x+x2+…+(-1)"xn1+…,x∈R n=1 ∑anx”=a+a1x+a2x2+…+anx"+…,|x|<1 n=0 ∑ sin nx=sin x + sin 2x +.+sin nx+ x∈R

例2. 下列各式均为函数项级数 ( 1) 1 ( 1) , 2 1 1 1  1 1              n n n n n x x x x x  R. , 2 0 1 2 0         n n n n n a x a a x a x a x | x | 1. sin sin sin 2 sin , 1        nx x x nx n x  R

2.级数的敛散性定义 无穷级数∑un的前n项之和: Sn=∑uk=1+l2+…+un, k=1 称为级数的部分和 imSn=S存在,则称级数∑un收敛, n→)0 S称为级数的和:∑ln=S

无穷级数  n1 un的前n项之和： , 1 2 1 n n k n k S  u  u  u   u   称为级数的部分和. 若 S S n n   lim 存在，则称级数  n1 un 收敛， S称为级数的和： . 1 u S n  n   

lim s不存在(包括为∞),则称级数∑n n→ n=1

若 n n S  lim 不存在(包括为)，则称级数   n1 un 发散

观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3, 面积为A1= 第一次分叉: 周长为P2=B1, 面积为4=4+39·A依次类推 播放

观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 91 3, 34 2 1 1 2 1 A A A P P      面积为 周长为 依次类推 ; 43 3, 11  AP 面积为 周长为 设三角形 播放