《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第1-8章小结

数学物理方法 1-8章小结

数学物理方法 1-8 章小结

1.复变函数 导数、可导性、柯西一黎曼方程 2.复变函数的积分 柯西定理∮/()=0 n≠-1 dz0, agS, 2mi Jiz-a neS并且-ayb=0整数 柯西定理f(a) f(=) d.f(=) f(s dz 2ziJiz-a 2zJ(-x)y+1

1.复变函数 导数、可导性、柯西－黎曼方程 2. 复变函数的积分 柯西定理  f (z)dz = 0 . 1, 0, 2 1      = −  l l l S S z dz i     并且  − = l n (z ) dz 0, 整数 n  −1 . ( ) 2 1 ( )  − = l dz z f z i f   柯西定理  . ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( )  + − = l n n dz z f i n f z   

3幂级数收敛、收敛半径R=l k+1 泰勒展开:/(=)=∑a1(=y 洛朗展开:f(=)=∑a(=-=0) k 奇点分类:孤立奇点20 可去奇点极点本性奇点 4留数定理f/()=2nCRy(b)

3. 幂级数 收敛、收敛半径 1 lim + → = k k k a a R ( ) ( ) , 0  0  = = − k k k 泰勒展开： f z a z z 洛朗展开：   =− = − k k k f (z) a (z z ) 0 孤立奇点 0 z 可去奇点 极点 本性奇点 奇点分类： 4. 留数定理 ( ) 2 Re ( ). 1  = = l n j bj f z dz i sf

阶极点:mn(z-z0)f(z)=a 0 m阶价极点:(mbm(()=a 用留数计算实变函数的积分 类型1m3)→fnR 2+zz-2 2 z 类型22m>Re()∈上半平面;=/(x)+.(

lim ( ) ( ) . 0 1 0 − → z − z f z = a 一阶极点： z z m阶极点： 1 0 1 1 lim ( ) ( ) ( 1)! 1 0 − − − → − = − z z f z a dz d m m m m z z  2 0 R(conx,sin x)dx   = − − + − 1 1 1 ) 2 , 2 ( z iz dz i z z z z R 用留数计算实变函数的积分 类型1 类型2     = + − CR R R j j 2i{ Re sf (zj ),z 上半平面} f (x)dx f (z)dz

类型3 「F( x)cos mdx=F()h=m∑ResF,∈上半平面 G(x) sin mdx=,G(lb=nΣReG(,∈上半平面。 2i Ji 0 5傅立叶变换 傅立叶级数f(x)=a+∑{acos k k +b sin Tf(S)cos k丌 ds k丌 f(ssin--ds

 =  =  上半平面。  j imz l j j imz F x mxdx F z e dz i sF z e z j ( ) Re ( ) , 2 1 ( )cos 0   =  =  上半平面。  j imz l j j imz G z e dz sG z e z i G x mxdx j ( ) Re ( ) , 2 1 ( )sin 0  类型3 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x f x a a k k k     = = + + 5. 傅立叶变换 傅立叶级数        = =   − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1          d l k f l b d l k f l a l l k l l k k

傅立叶变换 f(x)=r A(O)cos ardo +l B(@)sin ando, 谐: A(0)=/(5) cOsO5d5, B(O) f(ssin asds 6函数 D(x-/0 (a,bx0) (a<x0<b0 (1)导数定理f(x)=1o(O) 2)积分定理 F”f(x)1=F(o) (3)相似性定理 FIf(ax=-Fo a a

( ) ( )cos ( )sin , 0 0   f x = A  x d + B  x d 傅立叶变换 ( ) sin . 1 ( ) cos , ( ) 1 ( )            A  f d B f d    −  − = = 谱：        − =  1. ( 0) 0, ( , , , ) ( ) 0 0 0 0 a x b a b x a b x x x dx b a 或 δ函数  (1) 导数定理 F[ f '(x)] = iF() (2) 积分定理 ( ) 1 [ ( ) ] ( )   F i f x dx x =  F (3) 相似性定理 ( ) 1 [ ( )] a F a f ax  F =

(4)延迟定理Ff(x-x)=eF(O) (5)位移定理Fef(x)=F(O-O) (6)卷积定理Ff(x)*2(x)=2mF1(m)·F2() f1(x)*f2(x) f1(5)f2(x-5d5 6.拉普拉斯变换 f(p)=f()e"e'dt 性质、反演、运算微积

6. 拉普拉斯变换 (4) 延迟定理 [ ( )] ( ) 0 0   f x x e F −i x F − = (5) 位移定理 [ ( )] ( ) 0 0    = − − e f x F i x F (6) 卷积定理 [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) F f 1 x  f 2 x = F1  F2  f  f x  d f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 = −    −   − = 0 f ( p) f (t)e dt pt 性质、反演、运算微积

7.数学物理方程度定解问题 泛定方程度提岀、边界条件、初始条件、衔接条件。 达朗贝尔公式(02-a202)m(x)=0 设初始条件为=(x)和l-0=v(x)(-0<x<∞) x+at x)=0(x+a)+(x-am)+2∫ ()d5 8.分离变量

7. 数学物理方程度定解问题 泛定方程度提出、边界条件、初始条件、衔接条件。 达朗贝尔公式 ( ) ( , ) 0 2 2 2 2 2 =   −   u x t x a t 设初始条件为 ( ) 0 u x t= = 和 ( ) 0 u x x t= = (−  x  )     d a u x t x at x at x at x at ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , )  + − = + + − + 8. 分离变量