《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 幂级数展开 3.1 复数项级数 3.2 幂级数 幂函数的复变项级数 3.3 泰勒级数展开 3.4 解析延拓 3.5 洛朗展开 3.6 孤立奇点的分类

函数有精确表示和近似表示。 精确表示(解析表示): 表示为初等函数通过四则运算 近似表示: 逼近近似表示为初等函数通过四则运算 级数表示表示为一个函数级数

函数有精确表示和近似表示。 精确表示（解析表示）： 表示为初等函数通过四则运算 近似表示： 逼近 近似表示为初等函数通过四则运算 级数表示 表示为一个函数级数

第三章幂级数展开 复数项级数; 变项级数(函数级数); 幂级数; 幂级数对复变函数研究的应用: 泰勒级数; 洛朗级数,函数的奇异性研究

第三章 幂级数展开 复数项级数； 变项级数（函数级数）； 幂级数； 幂级数对复变函数研究的应用： 泰勒级数； 洛朗级数，函数的奇异性研究

31复数项级数 1.级数的收敛和柯西判据级数是无穷项的和 复无穷级数∑mk=m+a2+…十mk+… =1 每一项为O=lk+m 收敛: 如果极限m∑o=m∑4+il∑”存在并有限 n→)0 n→00 收敛 k=1

3.1 复数项级数 1. 级数的收敛和柯西判据 级数是无穷项的和 , 1 2 1  = + ++ +  = k k 复无穷级数 k    每一项为 k k k  = u +iv 收敛 如果极限   = → = → = → = + n k k n n k k n n k k n u i v 1 1 1 lim  lim lim 存在并有限 收敛：

充要条件是其实部与虚部都收敛 柯西判据:复数项级数收敛的充要条件是, 对于一小的正整数E,必存在一N使得 n>N时有 n+p 0<8 k=n+1 式中p为任意正整数

充要条件是其实部与虚部都收敛 柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是， 对于一小的正整数 ，必存在一 N 使得 n>N 时有  , 1    + = + n p k n k 式中 p 为任意正整数

2.绝对收敛 ∑|=∑√n+n收敛 k=1 则原级数∑mk收敛。 两个绝对收敛的和,积,仍绝对收敛。 3.复变项级数 ∑mk(z)=a(z)+O2(z)+…+k(z)+ k=1 的每一项都是复变函数。 实际上,对于z的一个确定值,复变项级数变成 个复数项级数

2. 绝对收敛    =  = = + 1 1 2 2 k k k k k  u v 收敛。 两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛。 3. 复变项级数 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1  = + ++ +  = z z z z k k k    的每一项都是复变函数。 实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成 一个复数项级数。 则原级数  收敛。  k=1 k

复变项级数有一个定义域B。它的收敛的概 念应当是相对于这个定义域而言的 收敛复变项级数在其定义域B中每一点都收 敛,则称在B中收敛。 它满足柯西判据: 复数项级数收敛的充要条件是,对于一小 正整数E,必存在一N(z) 使得n>N(z)时有 n+ 0,(z)<8 k=n+1

复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概 念应当是相对于这个定义域而言的。 收敛 复变项级数在其定义域 B 中每一点都收 敛，则称在 B 中收敛。 它满足柯西判据： 复数项级数收敛的充要条件是，对于一小 正整数 ，必存在一 N(z) 使得 n>N(z) 时有  ( ) , 1    + = + n p k n k z

致收敛当N与z无关时 即对B中所有点给定E,就有一个统一的N 使判据得到满足。 致收敛的级数的每一项若为连续函数,级 数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积 分 绝对一致收敛在区域B中,复数项级数的各项 满足 O(2)<mk 而数项级数∑m收敛。即在各点都绝对收敛

一致收敛 当 N 与 z 无关时。 即对 B 中所有点 给定 ，就有一个统一的 N 使判据得到满足。 一致收敛的级数的每一项若为连续函数，级 数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积 分。 绝对一致收敛 在区域 B 中，复数项级数的各项 满足 而数项级数 ( ) , k mk  z    k =1 mk 收敛。 即在各点都绝对收敛 

给定E N(=1) O(=1)<E 收敛,但与z的位置有关。|+1 k(-2 Ok(=1) 1 n+ O1(21)<E N k(=2

( ) 1 z k ( ) 1 N z 给定  ( ) . 1 1    + + N p N k z ( ) 2 z k ( ) 2 N z ( ) . ' ' 1  2   + + N p N k z 收敛，但与 z 的位置有关。 ( ) 1 z k ( ) 1 N z ( ) . 1 1    + + N p N k z ( ) 2 z k ( ) 2 N z

32幂级数幂函数的复变项级数 1.定义对于各复常数=0,a12a2,…ak2…’级数 2(2- )4=a0+a(=-=)+a2(=-=0)2+…+a(=-=)+…(3.2.1) 叫以z0为中心的幂级数。 Zo

3.2 幂级数 幂函数的复变项级数 对于各复常数 , , , , , , z0 a1 a2  ak  级数  − = + − + − ++ − +  = k k k k k a (z z ) a a (z z ) a (z z ) a (z z )0 2 0 1 0 2 0 0 0 叫以 z0 为中心的幂级数。 1. 定义 (3.2.1) z0

∑a(x-=0)=a+a1(-0)+a2(x-=0)2+…+a(=-=0)4+… k=0 2.收敛的达朗贝尔判据 (3.2.1) 研究(32.1)的模的如下级数 ∑|akK=-=0) (322) k=0 满足 ak-ilz k→c →/f=lmk+1 则实幂级数(322)收敛,且复幂级数(32.1)绝对 收敛

 − = + − + − ++ − +  = k k k k k a (z z ) a a (z z ) a (z z ) a (z z )0 2 0 1 0 2 0 0 0 2. 收敛的达朗贝尔判据 研究(3.2.1) 的 模的如下级数   = − 0 0 ( ) k k k a z z 满足 lim lim 0 1 1 0 1 1 0 = −  − − + → + + → z z a a a z z a z z k k k k k k k k 则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对 收敛。 (3.2.1) (3.2.2)