上海交通大学：《数学史》教学资源_周智恺-悖论与集合论 Paradox & Sets

悖论与集合论 Paradox&Sets 5070309755周智恺

悖论与集合论 Paradox&Sets 5070309755 周智恺

似非而是-Paradox起源 o希腊语para+dokein 。多想一想 。自相另盾的命题

似非而是-Paradox起源  希腊语para+dokein  多想一想  自相矛盾的命题

最早的悖论 。传说是古希腊的"说谎者悖论". o Epimenides 。所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。 。公元前六世纪 。我在说谎 。你下面要讲的话是不'，对不对？

最早的悖论  传说是古希腊的"说谎者悖论".  Epimenides  所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。  公元前六世纪  我在说谎  你下面要讲的话是'不' ，对不对？

0 悖论有三种主要形式。 0 1.一种论断看起来好像肯定错了，但实 际上却是对的（佯谬）。 2.一种论断看起来好像肯定是对的，但 实际上却错了（似是而非的理论）。 3.一系列推理看起来好像无懈可击，可 是却导致逻辑上自相矛盾

 悖论有三种主要形式。  1．一种论断看起来好像肯定错了，但实 际上却是对的（佯谬）。  2．一种论断看起来好像肯定是对的，但 实际上却错了（似是而非的理论）。  3．一系列推理看起来好像无懈可击，可 是却导致逻辑上自相矛盾

悖论与数学 。三次数学危机 。毕达哥拉斯-勾股定理-无理数 。贝克莱-二分法-微积分 。罗素-集合论-公理化

悖论与数学  三次数学危机  毕达哥拉斯-勾股定理-无理数  贝克莱-二分法-微积分  罗素-集合论-公理化

自然数-有理数与无穷 。公元五世纪 。普罗科拉斯评述《几何原本》，直径分圆问题。 N根直径分圆成2N部分，即自然数与正偶数存在 对应关系。 。中世纪 。大小圆之间可以用直径建立一一对应 “伽利略悖论” 。平方数与自然数一样多

自然数-有理数与无穷  公元五世纪  普罗科拉斯评述《几何原本》，直径分圆问题。 N根直径分圆成2N部分，即自然数与正偶数存在 一一对应关系。  中世纪  大小圆之间可以用直径建立一一对应  “伽利略悖论”  平方数与自然数一样多

回避原则 o加利略： 。否认自然数全体这一说法，即否认实无限的存在

回避原则  伽利略：  否认自然数全体这一说法，即否认实无限的存在

传统与现实 。整体大于部分 。潜无限与实无限

传统与现实  整体大于部分  潜无限与实无限

康托 Georg Cantor,1845-1918 0 十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现 了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动 中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点 集，这是集合论研究的开端。 。通过一一对应比较集合元素多少 。可数集与实无限 。自然数通过空集构造 o1873.12.7给戴德金的信，集合论诞生

康托  Georg Cantor，1845-1918  十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现 了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动 中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点 集，这是集合论研究的开端。  通过一一对应比较集合元素多少  可数集与实无限  自然数通过空集构造  1873.12.7给戴德金的信，集合论诞生

康托的集合的定义 。把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象 的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一 个集合，其中各事物称为该集合的元素

康托的集合的定义  把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象 的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一 个集合，其中各事物称为该集合的元素