上海中医药大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 行列式

行列式

1.用消元法解二元线性方程组 411+412X2=b, (1) 4211+422X2=b2. (2) (1)xa2:412zx1+a22x2=b,a2, （2)×a2:a1242x1+41242x2=b,a12, 两式相减消去x2,得 (a11422-4242）x1=b42-41zb2

1．用消元法解二元线性方程组        . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 1 : 22  a , 11 22 1 12 22 2 1 22 a a x  a a x  b a 2 : 12  a , 12 21 1 12 22 2 2 12 a a x  a a x  b a 两式相减消去 x2，得 (1) (2) ; 11 22 12 21 1 1 22 12 2 （a a  a a ）x  b a  a b

类似地，消去x,得 （a1422-a1202i)x2=a1ib2-b421, 当a42-a12421≠0时， 原方程组有唯一解 b241m-421b1 X1= b422-412b2 X2= M1122-12421 0122-1221 由方程组的四个系数确定

1 22 12 2 2 11 21 1 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 , . b a a b b a a b x x a a a a a a a a       类似地，消去 x1，得 , 11 22 12 21 2 11 2 1 21 （a a  a a ）x  a b  b a 当 a11a22  a12a21  0时， 原方程组有唯一解 由方程组的四个系数确定

若记4142-a1221= a azl =D, ban2 -anbz= l-Pr ab2-b42z1= b =D2 则当D≠0时该方程组的解为 X1= D X2= 克莱姆法则

若记 1 12 1 22 12 2 2 22 1 , a b a a b D a b b    11 11 2 1 21 2 21 1 2 , a a b b a D b a b    11 12 11 22 12 21 21 22 , a a a a a a D a a    则当 D  0 时该方程组的解为 1 2 1 2 , . D D x x D D   克莱姆法则

行列式的定义 1.二阶行列式 =411422-41221 对角线法则：主对角线元素之积减去副对角线元素之积 主对角线 411022-412421 副对角线

行列式的定义 1. 二阶行列式 11 12 21 22 a a a a 11 22 12 21  a a  a a 对角线法则：主对角线元素之积减去副对角线元素之积 11 12 21 22 a a a a  11 22 a a 12 21  a a 主对角线 副对角线

对角线 例根据定义计算行列式的值 法则 =6×(-3)-2×(-5j=-8 cos0 -sin0 sine cos0 =cos20-(-sin20)=1

例 根据定义计算行列式的值  6(3)  2(5) 6 2 5 3 cos sin sin cos      2 2  cos   (sin )  8 1 对角线 法则

在三元一次线形方程组求解时有类似结果 即有方程组 a1X1+a12心2+413x3=b 21X1+422+2sx3=b 431X1+32X2+33X3=b3 当D= ≠0时，有唯一解 x X2 D

在三元一次线形方程组求解时有类似结果 即有方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b               当 时，有唯一解 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a   1 2 3 1 2 3 , , D D D x x x D D D   

其中 D 41么 24么 D

其中 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 , b a a D b a a b a a  11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 , a b a D a b a a b a  11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 . a a b D a a b a a b 

类似的n元一次线性方程组有克莱姆法则 411式1+4122++41mm=b1, 1+02z2++a2mxm=b2, (*) an1水1+an2X2+…+4nmxn=bn, 在系数行列式D≠0时有唯一解： X,三 ,i=1,2,…,n

类似的n元一次线性方程组有克莱姆法则 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , ( ) . n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                       在系数行列式 D 0 时有唯一解： , 1,2, , i i D x i n D   

n阶行列式的定义 C12 01 2 A2n : An2 =411A1+a12A42+…+a1n4m =∑a,4, 按第一行展开 j=1

n 阶行列式的定义 21 22 11 2 2 1 1 1 2 n n n nn n a a a a a a a a a    11A11 12A12 1n 1n  a  a  a A 1 1 1 n j j j a A    按第一行展开