上海交通大学：《数学史》教学资源_姜鲁-变分法简介

上泽充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 变分法简介 姜鲁 5080109215 1B三后

变分法简介 姜鲁 5080109215

上游充通大 变分法 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 变分法是17世纪末开始发展起来的数学分析的 个分支，它是研究依赖于某些未知函数的积分型 泛函极值的一门科学。简言之，求泛函极值的方 法称为变分法。求泛函极值的问题称为变分问题 或辩分原理

变分法 变分法是17世纪末开始发展起来的数学分析的一 个分支，它是研究依赖于某些未知函数的积分型 泛函极值的一门科学。简言之，求泛函极值的方 法称为变分法。求泛函极值的问题称为变分问题 或辩分原理

上游充通大 变分法 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 克莱罗于1733年发表了变分法的首篇论文《论极 大极小的某些问题》。欧拉于1744年发表的著作 《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》 标志着变分法这门科学的诞生。变分法一词由拉 格朗日于1755年8月给欧拉的一封信中首次提出， 他当时称为变分方法(the method of variation), 而欧拉则在1756年的一篇论文中提出了变分法 (the calculus of variation)一词。变分法这门学科 的命名由此而来

变分法 克莱罗于1733年发表了变分法的首篇论文《论极 大极小的某些问题》。欧拉于1744年发表的著作 《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》 标志着变分法这门科学的诞生。变分法一词由拉 格朗日于1755年8月给欧拉的一封信中首次提出， 他当时称为变分方法(the method of variation)， 而欧拉则在1756年的一篇论文中提出了变分法 (the calculus of variation)一词。变分法这门学科 的命名由此而来

上游充通大学 最速降线问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 最速降线问题是历史上最早出现的变分法问题之 通常被认为是变分法的起点。它是伽利略于 1630年首先提出来的，1638年他又系统的研究 过这个问题，但他当时给出的结果不对。对变分 法的实质性研究是约翰·伯努利在1696年6月号的 《教师学报》上写给他哥哥雅各布·伯努利的一封 公开信中征求该问题的解开始的。牛顿与1697年 1月29日得知这一消息后，当天就把这一问题解 决了。莱布尼兹、伯努利兄弟和洛必达等人分别 用不同的方法得出了正确答案。其中，雅各布·伯 努利的解法更具一般性，朝变分法的方向迈出了 较大的一步

最速降线问题 最速降线问题是历史上最早出现的变分法问题之 一，通常被认为是变分法的起点。它是伽利略于 1630年首先提出来的，1638年他又系统的研究 过这个问题，但他当时给出的结果不对。对变分 法的实质性研究是约翰·伯努利在1696年6月号的 《教师学报》上写给他哥哥雅各布·伯努利的一封 公开信中征求该问题的解开始的。牛顿与1697年 1月29日得知这一消息后，当天就把这一问题解 决了。莱布尼兹、伯努利兄弟和洛必达等人分别 用不同的方法得出了正确答案。其中，雅各布·伯 努利的解法更具一般性，朝变分法的方向迈出了 较大的一步

上游充通大 最速降线问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 最速降线问题： 设O和P是铅直平面上不在同一铅直线上的两点， 在所有连接O和P两点的平面曲线中，求出一条 曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从O 点到P点沿这条曲线运动时所需的时间最短

最速降线问题 最速降线问题： 设 O和P是铅直平面上不在同一铅直线上的两点， 在所有连接O和P两点的平面曲线中，求出一条 曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从O 点到P点沿这条曲线运动时所需的时间最短

上游究更大学 最速降线问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY r+dr dx =28y(r) ds=v1+y(x).dr yf 面西线神的十

最速降线问题

上游充通大学 最速降线问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY ©方程的建立 设连接O、P两点的曲线方程为 y=M(x) 由能量守恒 mgy-1m2 另一方面，质点速度还可表示为 d V= ds (d)+(dy) dt dt dt 联立得时间为

最速降线问题 方程的建立 设连接O、P两点的曲线方程为 由能量守恒 另一方面，质点速度还可表示为 联立得时间为 y  y(x) 2 2 1 mgy  mv dt dx y dt dx dy dt ds v 2 2 2 1 ' ( ) ( )      dx gy y T x    1 0 2 2 1

上游充通大 泛函简介 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY ©泛函简介 上式的积分中给出的变量可以看作是依赖于未知 函数及未知函数导数的变量，未知函数及其导数 起着自变量的作用，这样的自变量称为独立函数 或自变函数。简单地说，这种依赖于独立函数的 函数，或者说以函数为自变量的函数，就称为泛 函。以积分形式出现的泛函称为积分型泛函或积 分泛函。这里的独立函数y称为宗量

泛函简介 泛函简介 上式的积分中给出的变量可以看作是依赖于未知 函数及未知函数导数的变量，未知函数及其导数 起着自变量的作用，这样的自变量称为独立函数 或自变函数。简单地说，这种依赖于独立函数的 函数，或者说以函数为自变量的函数，就称为泛 函。以积分形式出现的泛函称为积分型泛函或积 分泛函。这里的独立函数y称为宗量

上游充通大 变分 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 对于任意x∈X,X],可取函数y(X)与另一可取函 数yo(X)之差y(X)-yo(X)称为函数y(x)在yo()处的变 分或函数的变分，记作δy。 泛函的宗量y(X)与另一宗量yo(X)之差y(X)-yo(X)称 为宗量y(X)在yo(X)处的变分

变分 对于任意x∈[x0 ,x1 ]，可取函数y(x)与另一可取函 数y0 (x)之差y(x)-y0 (x)称为函数y(x)在y0 (x)处的变 分或函数的变分，记作δy。 泛函的宗量y(x)与另一宗量y0 (x)之差y(x)-y0 (x)称 为宗量y(x)在y0 (x)处的变分

上游充通大 变分与微分的区别 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY y(x)+6x B y △N A y(x)

变分与微分的区别