上海交通大学：《离散数学》课程教学资源（讲义）图论——第三章（树）

第三意：树内容)树的有关定义 Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 000c0000 00 0000 000 00000 图论第三章：树 刘胜利 liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel:34204405 密码与信息安全实验室 计算机科学与工程系 上海交通大学 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 1132

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ãØ✶♥Ù:ä ✹➅⑤ liu-sl@cs.sjtu.edu.cn Tel: 34204405 ➋è❺✫❊❙✜➣✟➾ ❖➂➴❽➷❺ó➜❳ þ➦✂Ï➀➷ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 1 / 32

第三章：树内容)树的有关定义 Huffman树Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 000c0000 00 0000 000 00000 第三章内容 。3.1树的有关定义： 。3.6 Hufiman树： 。37最短树： 口101元11子t2月Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 2/32

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ✶♥Ù❙◆ 3.1 ä✛❦✬➼➶➯ 3.6 Huffmanä➯ 3.7 ⑩áä➯ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 2 / 32

第三章：树内容)树的有关定义 Huffman树Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 000c0000 00 0000 000 00000 第三章内容 。3.1树的有关定义： 。3.6 Huffman树： 。37最短树： 口101元11子t2月Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 2/32

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第三章：树（内容）树的有关定义 Huffman树Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 000c0000 00 0000 000 00000 第三章内容 。3.1树的有关定义： ●3.6 Huffman树： 。3.7最短树： 口01元11子t20Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 2/32

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ✶♥Ù❙◆ 3.1 ä✛❦✬➼➶➯ 3.6 Huffmanä➯ 3.7 ⑩áä➯ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 2 / 32

第三意：树（内容）树的有关定义 Huffman树 Huffman算法 最组树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 00000000 00 0000 00● 00000 树的有关定义 给定一个图G=(V,E),如果它不含任何“初级回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通利，就称它是树。 定义3.1,1：一个不含任何初级回路的连通图称为树，用T表示，7中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶 定义3.12：设：是G的一条边，若G”=G-比G的连通州数增加一个， 则称：是G的一条到边 品处，回G册去边三位之后，结点让分屋于不同的分分 刘胜利（上海交大-CS实验室 图论第三章：树 3/32

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷￾➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 32

第三意：树（内容）树的有关定义 Huffman树 Huffman算法 最组树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 00000000 00 0000 00● 00000 树的有关定义 给定一个图G=(VE),如果它不含任何“初级回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。 定义3.1.1：一个不含任何“初级回路"的连通图称为树，用T表示。T中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶 定义3.12：设：是G的一条边，若G”=G-比G的连通支数增加一个， 则称是G的一条到边 显然，图G删去割边：三丝.之后，结点，y分属于不同的分支 0Q0 刘胜利（上海交大-CS实验室 图论第三章：树 3/32

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷￾➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 32

第三意：树【内容)树的有关定义 Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Pim算法图论第三章作业 00000000 00 0000 00● 00000 树的有关定义 给定一个图G=(VE),如果它不含任何“初级回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。 定义3.1.1：一个不含任何“初级回路"的连通图称为树，用T表示。T中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶. 定义3.1.2：设e是G的一条边，若G=G-e比G的连通支数增加一个， 则称e是G的一条割边。 显然，图G删去割边：三丝.之后，结点，y分属于不同的分支 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 3/32

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷￾➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 32

第三意：树内容)树的有关定义 Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Prim算法图论第三章作业 000c0000 00 0000 00● 00000 树的有关定义 给定一个图G=(VE),如果它不含任何“初级回路”，我们就叫它是林， 如果G又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。 定义3.1.1：一个不含任何“初级回路"的连通图称为树，用T表示。T中的 边称为树枝，度为1的节点称为树叶. 定义3.1.2：设e是G的一条边，若G=G-e比G的连通支数增加一个， 则称e是G的一条割边。 显然，图G删去割边=(u,v)之后，结点u,v分属于不同的分支。 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 3132

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ä✛❦✬➼➶ ❽➼➌❻ãG = (V, E)➜❳❏➜Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”➜➲❶Ò✗➜➫✕➜ ❳❏Gq➫ëÏ✛➜❂ù❻✕➄❦➌❻ëÏ⑤➜Ò→➜➫ä✧ ➼➶3.1.1➭➌❻Ø➵❄Û“Ð❄↔➫”✛ëÏã→➃ä➜❫T▲➠✧T➙✛ ❃→➃ä④➜Ý➃1✛✦✿→➃ä➇. ➼➶3.1.2➭✗e➫G✛➌❫❃➜❡G 0 = G − e✬G✛ëÏ⑤ê❖❭➌❻➜ ❑→e➫G✛➌❫⑧❃✧ ✇✱➜ãGí✖⑧❃e = (u, v)❷￾➜✭✿u,v➞á✉ØÓ✛➞⑤✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 3 / 32

第三意：树内容) 赵的有关定义Huffman树 Huffman算法 最树：Kruskal算法最短树：Pim算法图论第三章作业 ●0000000 00 0000 000 00000 割边的性质 定理3.1.1：e=(u,)是割边，当且仅当e不属于G的任何“初级回路”。 必要性一：：=（山，是割边一不属于G的任何初级回路反证法 若=以，属于G的某个初级回路”，网G=G一中仍存 在：到的初级道路，故结点和属于同一连通支，不是 副边 充分性=：：不漏于G的任何“初级回路一=(“，是割边反证法 若不是割边，则G=G一：与G的连通支数一样于 是：和仍属于同一连通支、故G中存在初级道 路P(4,),P以，)+e就是G的一个初级回路 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 4/32

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ⑧❃✛✺➓ ➼♥3.1.1➭e = (u, v)➫⑧❃➜✟❹❂✟eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ✼❻✺⇒➭ e = (u, v)➫⑧❃⇒eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ❻②④✧ ❡e = (u, v)á✉G✛✱❻“Ð❄↔➫”➜❑G 0 = G − e➙❊⑧ ✸u✔v✛“Ð❄✗➫”➜✙✭✿uÚvá✉Ó➌ëÏ⑤➜eØ➫ ⑧❃✧ ➾➞✺⇐➭ eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”⇒ e = (u, v)➫⑧❃✧ ❻②④✧ ❡eØ➫⑧❃➜❑G 0 = G − e❺G✛ëÏ⑤ê➌✘✧✉ ➫uÚv❊á✉Ó➌ëÏ⑤✧✙G 0➙⑧✸Ð❄✗ ➫P(u, v)➜P(u, v) + eÒ➫G✛➌❻“Ð❄↔➫”✧ ä✹✛➅⑤③(❫þ➦❃✂➀➜-CISÑ➣✟Ø➾➡) á✉❄Û“Ðã❄Ø✶↔♥Ù➫:ä”✧↕➧ä✛③❫❃Ñ➫⑧❃✧4 / 32

第三意：树（内容） 树的有关定义 Huffman树 Huffman算法 最组树：Kruska算法最短树：Pim算法图论第三章作业 ●0000000 00 0000 00● 00000 割边的性质 定理3.1.1：e=(u,v)是割边，当且仅当e不属于G的任何“初级回路”。 必要性=：e=(u,v)是割边→e不属于G的任何“初级回路”。反证法。 若e=(u,v)属于G的某个“初级回路”，则G=G-e中仍存 在u到v的“初级道路”，故结点和v属于同一连通支，e不是 割边。 充分性=：不漏于G的任何初级回路”一=(，是割边反证法 若不是割边，则G=G一与G的连通支数一样，于 是：和仍属于同一连通支、故G中存在初级道 路P(4,),Pu,+就是G的一个“初级回路 0Q0 刘胜利（上海交大-CS实验室 图论第三章：树 4/32

✶♥Ù➭ä(❙◆) ä✛❦✬➼➶ Huffmanä Huffman➂④ ⑩áä➭Kruskal➂④ ⑩áä➭Prim ➂④ ãØ✶♥Ù❾➆ ⑧❃✛✺➓ ➼♥3.1.1➭e = (u, v)➫⑧❃➜✟❹❂✟eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ✼❻✺⇒➭ e = (u, v)➫⑧❃⇒eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”✧ ❻②④✧ ❡e = (u, v)á✉G✛✱❻“Ð❄↔➫”➜❑G 0 = G − e➙❊⑧ ✸u✔v✛“Ð❄✗➫”➜✙✭✿uÚvá✉Ó➌ëÏ⑤➜eØ➫ ⑧❃✧ ➾➞✺⇐➭ eØá✉G✛❄Û“Ð❄↔➫”⇒ e = (u, v)➫⑧❃✧ ❻②④✧ ❡eØ➫⑧❃➜❑G 0 = G − e❺G✛ëÏ⑤ê➌✘✧✉ ➫uÚv❊á✉Ó➌ëÏ⑤✧✙G 0➙⑧✸Ð❄✗ ➫P(u, v)➜P(u, v) + eÒ➫G✛➌❻“Ð❄↔➫”✧ ä✹✛➅⑤③(❫þ➦❃✂➀➜-CISÑ➣✟Ø➾➡) á✉❄Û“Ðã❄Ø✶↔♥Ù➫:ä”✧↕➧ä✛③❫❃Ñ➫⑧❃✧4 / 32