上海交通大学：《数学史》教学资源_于卓立-虚数的故事

虚数的故事 于卓立 5080209028

。什么是虚数 ·卡尔达诺问题 ·虚数的诞生 ·复数与复平面 。物理学中的虚数

什么是虚数 ·一个数，它的平方为负数。 ·虚数(imaginary number),意思就是虚 构的数，它是同现实世界毫无关系的数。 ·√(1)=i

卡尔达诺问题 虚数产生于16世纪，在当时的意大利有一本名叫 《大术》的数学书中记载有这样一道题：有两个 数，它们相加之和等于10，相乘之积等于40，这 是两个什么数？ ·有三个边长为5的正方形，如果能找到一个周长等 于长方形、面积等于40的长方形，长方形的长和 宽就是问题的答案。但是在周长相等的长方形中， 面积最大的是正方形，所以卡尔达诺问题没有答 案

·人们在遇到没有答案的问题时，就创造出 新的数 在所有数中，起源最早的是“自然数”， 用来清点事物的个数。后来发展出四则运 算法则，但是在除法运算时，出现了除不 尽数，于是诞生了分数

霍鲁斯之眼 组成霍鲁斯（荷路斯）(Horus) 之眼的是古埃及的分数

组成霍鲁斯（荷路斯）(Horus) 之眼的是古埃及的分数

·公元前6世纪，毕达哥拉斯相信有理数就是 数的全部。但是他的一个弟子希帕索斯发 现了一个绝对无法用有理数表示的量，就 是正方形的对角线。这一发现使得毕达哥 拉斯的其他弟子大为惊恐，为了避免向外 泄露这一发现，希帕索斯被溺水害死。 ·对于古希腊人来说，发现无理数是不可思 议的，不过他们很快就接受了这种数，最 终形成了“实数”的概念

·在《大术》中第一次出现了平方为负数的 数。卡尔达诺通过对间题的讨论提出了 个重要思想：承认虚数，原来没有答案的 问题也会有答案。 ·但是卡尔达诺又写道：这不过是在玩技巧， 尽管可以使数学变得严谨，却没有什么实 用价值 a+b=10 a2-10a+40=0 a×b=40 a=5±5/-15

a  5  5 15 10 40 a b a b     2 a 10a  40  0

虚数单位的诞生 ·法国哲学家笛卡尔断 定不可能用图形来表 示负数的平方根，因 此称它为虚数

·尽管无法作图表示， 仍然有人研究虚数。 虚数单位的符号首先 由欧拉确定下来，并 且经过长期的研究， 欧拉发现了一个被誉 为“世界上最美的数 学式” Lπ er+1=0

1 0 i e   