上海中医药大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分及其应用

第五章 定积分及其应用 定积分的概念 定积分的简单性质 三 定积分的计算 四 定积分的应用 五广义积分和「函数

第五章 定积分及其应用

炙飘个葡黄赤 背景来源 面积的计算 我们可以用大大小小的矩形 !矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 将图形不断填充，但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形，这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转） “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

背景来源——面积的计算 ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 我们可以用大大小小的矩形 将图形不断填充，但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形，这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转） “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

5,1.1定积分的概念 5.1.1两个实际问题 矩形面积=ah 楼形面-。+ b 1.曲边梯形的面积 h 设曲边梯形是由连续曲线 y y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0) 及x轴，以及两直线x=a,x=b A=? 所围成，求其面积A a b

1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y  f (x) ( f (x)  0) 及 x轴，以及两直线 x  a, x  b 所围成 , 求其面积 A . A  ? y  f (x) 矩形面积 a h  a h a h 梯形面积 ( ) b 2 a b h   5.1.1 定积分的概念

解决步骤： 1)分割 在区间[a,b]中任意插入n-1个分点 a=x0<X1<x2<.<Xn-<xn=b 用直线x=x,将曲边梯形分成n个小曲边梯形， 2)近似. 在第i个窄曲边梯形上任取5，∈[xi-1,x] 作以[x-1,x;]为底，f(5) 为高的小矩形，并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△4，得 a x Xi-1xi bx △A≈f(5i)△x1(△x1=x1-x;-1,i=1,2,…,n)

1x i x i1 a x b x y o 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b  0  1  2  n1  n  [ , ] i i 1 i x x    用直线 i x  x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[ , ] i 1 i x x  为底 , ( ) i f  为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( )  i  i  i  i  i  i1 A f  x x x x , i 1,2,,n )  i 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)求和. A=2A4,=∑/5)x1 i=l i=l 4)取极限.令2=max{△x,},则曲边梯形面积 1si≤n n A=1im∑A4, 入→01 lim∑f(5,)△x, 2-→0 1 o a xy Xi-1xi bx Qe日008 机

    n i A Ai 1     n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n  x    则曲边梯形面积      n i A Ai 1 0 lim       n i i i f x 1 0 lim ( )  机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b x y o 1x i x i1 x  i

麦家个葡演赤 1、分割将[a,b]分割为n个小区间 2、取介点在每个小区间上任取一点5： 3、局部以直代曲每个小区间上的曲线y=fx) y个 用直线段y=f(ξ)代替 4、作和：S=f5)△xtf(5)△x+…+f(5,)A,+…+f(5n)Ax =f5)A(a=x-) y=f(x) a=xo X1 X2 x-15x Xn-1 xn =b

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi i ( ) i f  3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 y  f (x) 0 a  x 1 x 2 x i1 x i x n1 x x b n  4、作和：S∆= 1 1 f ( )x 2 2  f ( )x   f ( i)xi  n n  f ( )x ( ) ( ) 1 1       i  i  i n i i i f  x x x x y x

襄我你的黄赤 1、分割将[a,b]分割为n个小区间 2、取介点在每个小区间上任取一点5： 3、局部以直代曲每个小区间上的曲线y=fx) y个 用直线段y=f()代替 4、作和：S=f5)△x+f(5)△x,+…+f(5)△x,+…+f(5,)△x =f5)A(a=x-) y=f(x) s=m∑fEAx=foh a b 5、取极限S=lim∑f(5,)△x(l△=max{Ax) A-→0 i=1

1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi 3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 y  f (x) 4、作和：S∆= 1 1 f ( )x 2 2  f ( )x   f ( i)xi  n n  f ( )x ( ) ( ) 1 1       i  i  i n i i i f  x x x x         b a n i S lim f ( i) xi f (x)dx 1 || || 0  5、取极限 lim ( ) (|| || max{ }) 1 || || 0 i n i i i S   f x   x     a b y x

2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)∈C[T,T2],且 v(t)≥0，求在运动时间内物体所经过的路程s. 解决步骤： 1)分割. 在[T,T]中任意插入n-1个分点，将它分成 n个小段[t-1,t](i=1,2,…,m),在每个小段上物体经 过的路程为△S,(i=1,2,…,n) 2)近似. 任取5∈[t-1,],以v(5)代替变速，得 △S≈v(5i)△t;(i=1,2,…,n) 反▣

设某物体作直线运动, ( ) [ , ], C T1 T2 v  v t  且 v(t)  0, 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. [ , ], i i 1 i t t 任取   将它分成 [ , ]( 1, 2, , ), 1 t t i n i i   在每个小段上物体经 2) 近似. 以 ( )代替变速 , i v  得 i i i  s  v( )t [ , ] 1 , 在 T1 T2 中任意插入 n  个分点 s (i 1, 2, , n)  i   (i 1, 2,,n) 已知速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段 过的路程为

3)求和. S≈ ∑y(5)Ai -1 4)取极限 n s=lim∑(5)At, (2=max△ti) 入01 lsi≤n 上述两个问题的共性： ·解决问题的方法步骤相同 “分割，近似，求和，取极限 。所求量极限结构式相同： 特殊乘积和式的极限 QQOOO8 机

i n i i s  v t 1 ( ) 4) 取极限 . i n i i s  v t  1 0 lim ( )  ( max ) 1 i i n  t    上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5.1.2定积分概念 设函数f(x)定义在[a,b]上，若对[a,b]的任一种分法 a=x0<<2<<xn=b,令Ax;=x1-x,-1,任取 5,∈[x,1,x,],只要入=max{△x}→0时∑f(5)△x, 1≤isn 1 总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数f(x)在区间 [a,b]上的定积分，记作心f(x)dx 即 心f飞x)dr=∑f5,)Ay b x 201 此时称f(x)在[a,b]上可积 O90D08

o a b x 设函数 f (x)定义在[a,b]上, 若对[a, b]的任一种分法 , 0 1 2 a x x x x b     n  ,  i  i  i1 令 x x x 任取 [ , ] , i i 1 i x x     i 只要 max{ } 0时 1      i i n  x i n i i  f x 1 ( ) 总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分, 1 x i x i1 x  b a f (x)dx 即   b a f (x)dx i n i i  f x  1 0 lim ( )  此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束