上海交通大学：《数学史》教学资源_5 微积分的创立与发展_6 微积分的创立与发展

第六讲： 微积分的创立与发展 一、微积分的先驱者 二、牛顿与莱布尼兹 三、《自然哲学的数学原理》 四、微积分在18世纪的发展

微积分的先驱者 微积分是人类智力的伟大成就之一，其地位 介于自然和人文科学之间，成为高等教育 成果硕然的中介。.这种延续了2500多年 的智力斗争的历史，深深扎根于人类奋斗 的许多方面，并且，只要人们像了解大自 然那样去努力认识自己，它就还会继续发 展下去。 ]R柯朗

如果说微积分是人类智慧谱写的一曲“英 雄交响曲”，那么，它的序曲从是从什么 时候开始的呢？它的意义何在？又有什么 深远影响呢？ 要回答这个问题，首先要明白什么是微积 分？微积分思想的关键是什么？

微分的定义 若f在[a,b上连续，是a,b内一点，若极 限 lim f(x+△x)-f(△x) x-→0 △X 对任意的△x0都存在， 则称极限为f(在点 x二处的导数，记作 d,或f() d

0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x   x      0 ' 0 ( ) ( ) df x f x dx ,或

积分的定义 在[a,b]取n-1个点，x,g,,且令a=0,b=, =<<<x<x=b,△=-，为，中任 一点，作和 S.-∑fE)△x 记)=max△x,令no,入0，如果1imSn存在，且对 各种不同的取点得到的值都一样，则称f在a,b] 上可积，且记极限值为 1imS。=心fx)d n→0,1-→0

1 ( ) n n i i i S f  x     , 0 lim ( ) b n a n S f x dx    

微积分基本定理 微积分基本定理有两个部分，第一部分是关于原函数的导 数，第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。 ■第一部分：设f为定义在闭区间4，的实数函数。设F为 F(x)=["f(t)dt 所定义的函数。这样，F在区间☑，可导，且对于[☑，内 的任何x,有 F'(=f( [f()d山是一个变上限的定积分，它的值F是f的无穷 多个原函数的其中一个

( ) ( ) x a F x  f t dt  ( ) x a f t dt 

第二部分 设f为定义在闭区间a,的连续实数函数。 设F为f的一个原函数，也就是说，它是使 下式成立的无穷多个函数之一 F'()=f) 那么 ["f(x)dx F(b)-F(a)

( ) ( ) ( ) b a f x dx  F b  F a 

极限！ 导数是“差商”的极限，积分是“和”的极限！ 《原本》卷3： 设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减 药中大药的食全班豆武法采不 继续重复这一过程，必有某个 余量将小于给定的较小的量. 欧多克斯原理 虽然这一思想允许将面积或体积“穷竭”，但是希 腊人从未将这一过程进行到无限，而总是寻找那 不“某个余量”，然后运用“双归谬法”导出矛 盾。所以，希腊的穷竭法”并不是寘正意义上 的极限方法

阿基米德的“求积术” 记a=△，阿基米德求出 a+a+ra*…+ra- 然后，依然用“双归谬 法”证明： 弓形面积B=K(4/3a)

1 1 2 1 4 ( ) ( ) 4 4 4 3 n a  a  a  a  a

刘徽：数而求穷者，不用筹算，谓以情推！ 庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 刘徽：割圆术、弧田术、求其微数、阳马术 阳马：鳖臑=2：1 “置余广袤高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少， 其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉。 数而求穷之者，谓以情推，不用筹算