上海交通大学:《数学史》教学资源_5 微积分的创立与发展_6 微积分的创立与发展

第六讲: 微积分的创立与发展 一、微积分的先驱者 二、牛顿与莱布尼兹 三、《自然哲学的数学原理》 四、微积分在18世纪的发展

微积分的先驱者 微积分是人类智力的伟大成就之一,其地位 介于自然和人文科学之间,成为高等教育 成果硕然的中介。.这种延续了2500多年 的智力斗争的历史,深深扎根于人类奋斗 的许多方面,并且,只要人们像了解大自 然那样去努力认识自己,它就还会继续发 展下去。 ]R柯朗

如果说微积分是人类智慧谱写的一曲“英 雄交响曲”,那么,它的序曲从是从什么 时候开始的呢?它的意义何在?又有什么 深远影响呢? 要回答这个问题,首先要明白什么是微积 分?微积分思想的关键是什么?

微分的定义 若f在[a,b上连续,是a,b内一点,若极 限 lim f(x+△x)-f(△x) x-→0 △X 对任意的△x0都存在, 则称极限为f(在点 x二处的导数,记作 d,或f() d
0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x 0 ' 0 ( ) ( ) df x f x dx ,或

积分的定义 在[a,b]取n-1个点,x,g,,且令a=0,b=, =<<<x<x=b,△=-,为,中任 一点,作和 S.-∑fE)△x 记)=max△x,令no,入0,如果1imSn存在,且对 各种不同的取点得到的值都一样,则称f在a,b] 上可积,且记极限值为 1imS。=心fx)d n→0,1-→0
1 ( ) n n i i i S f x , 0 lim ( ) b n a n S f x dx

微积分基本定理 微积分基本定理有两个部分,第一部分是关于原函数的导 数,第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。 ■第一部分:设f为定义在闭区间4,的实数函数。设F为 F(x)=["f(t)dt 所定义的函数。这样,F在区间☑,可导,且对于[☑,内 的任何x,有 F'(=f( [f()d山是一个变上限的定积分,它的值F是f的无穷 多个原函数的其中一个
( ) ( ) x a F x f t dt ( ) x a f t dt

第二部分 设f为定义在闭区间a,的连续实数函数。 设F为f的一个原函数,也就是说,它是使 下式成立的无穷多个函数之一 F'()=f) 那么 ["f(x)dx F(b)-F(a)
( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a

极限! 导数是“差商”的极限,积分是“和”的极限! 《原本》卷3: 设给定两个不相等的量,如果从其中较大的量减 药中大药的食全班豆武法采不 继续重复这一过程,必有某个 余量将小于给定的较小的量. 欧多克斯原理 虽然这一思想允许将面积或体积“穷竭”,但是希 腊人从未将这一过程进行到无限,而总是寻找那 不“某个余量”,然后运用“双归谬法”导出矛 盾。所以,希腊的穷竭法”并不是寘正意义上 的极限方法

阿基米德的“求积术” 记a=△,阿基米德求出 a+a+ra*…+ra- 然后,依然用“双归谬 法”证明: 弓形面积B=K(4/3a)
1 1 2 1 4 ( ) ( ) 4 4 4 3 n a a a a a

刘徽:数而求穷者,不用筹算,谓以情推! 庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 刘徽:割圆术、弧田术、求其微数、阳马术 阳马:鳖臑=2:1 “置余广袤高之数各半之,则四分之三又可知也。半之弥少, 其余弥细,至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉。 数而求穷之者,谓以情推,不用筹算
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