北京交通大学：《几何与代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 几何空间中的向量（1.6）空间直线及其方程

第一章几何空间中的向量 第六节空间直线及其方程 直线方程 两直线的位置关系 直线与平面的位置关系 线线夹角与线面夹角 点线距离与线面距离

第一章 几何空间中的向量 • 直线方程 • 两直线的位置关系 • 直线与平面的位置关系 • 线线夹角与线面夹角 • 点线距离与线面距离 第六节 空间直线及其方程

空间直线及其方程 、直线方程 1。一般式方程 定义空间直线可看成两平面的交线 II,: Ax+B,y+C13+D=0 2:A2x+B2y+C2x+D2=0 ∫4x+By+C1z+D1=0 142x+B2y+C2z+D2=0 y 空间直线的一般方程x

空间直线及其方程 一、直线方程 1. 一般式方程 x y z o 1 2 定义 空间直线可看成两平面的交线． 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0    + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 L

2.空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义: 如果一非零向量平行于 L 条已知直线,这个向量称 为这条直线的方向向量 0 0900 ),M(x,y,z), VM∈L,M0M∥sx 5=m,n,p), MoM=x-xo, y-yo, -)

x y z o 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． s  L ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M0   M  M  L, M(x, y,z), M M s  0 // s = {m, n, p},  { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z 2. 空间直线的对称式方程与参数方程

-co y=yo Z-30 直线的对称式方程 -x 令 々亡 P x=x+ mt 直线的一组方向数 y=Vo+nt 方向向量的余弦称为 t pt 直线的方向余弦 直线的参数方程

p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 直线的对称式方程 t p z z n y y m x x = − = − = 令 − 0 0 0      = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程

例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3x+4=0 解在直线上任取一点(x0,y,) 取xn=1→/少+n+2=0 3 6=0 解得J=0,x0=-2 点坐标(1,0,-2)

例1 用对称式方程及参数方程表示直线 . 2 3 4 0 1 0    − + + = + + + = x y z x y z 解 在直线上任取一点 ( , , ) 0 0 0 x y z 取 x0 = 1 , 3 6 0 2 0 0 0 0 0    − − = + + =  y z y z 解得 y0 = 0, z0 = −2 点坐标 (1,0,−2)

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 S=n1×n2={4,-1,3}, 对称式方程 x-1y-0x+2 3 y=1+4t 参数方程{y=-t Z=-2-3t

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 n1 n2 s    =  = {4,−1,−3}, 对称式方程 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4      = − − = − = + z t y t x t

例2一直线过点A(2,-3,4),且和轴垂直相 交,求其方程 解因为直线和y轴垂直相交 所以交点为B(0,-3,0), 取s=BA={2,0,4}, 所求直线方程 x-2y+3z-4 2 0

例 2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y 轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和 y 轴垂直相交, 所以交点为 B(0,−3, 0), 取 s = BA  = {2, 0, 4}, 所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 − = + = x − y z

二、两直线的位置关系 (1)L1⊥L2∈→m1m2+n12+P1D2=0 (2)L1∥/L2∈→ PI 例如,直线L1:S={1,-4,0}, 直线L2:s2={0,0,1} 2=0,∴S,⊥2,即L1⊥L2

二、 两直线的位置关系 1 2 (1) L ⊥ L 0,  m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 1 2 (2) L // L , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m  = = 直线 : L1 直线 : L2 {1, 4, 0}, s1 = −  {0,0,1}, s2 =  0, s1  s2 =    , 1 2 s s    ⊥ 例如， . 即 L1⊥L2

二两直线的夹角 定义两直线的方向向量的夹角称之(锐角) 直线L1 x-x y=v1 3-2 直线L2: -x2 y=y2 3-L2 cos(L, l)= m, m2+n, 2+p1P2 I ym1+n1+p1·√m2+n2+p2 两直线的夹角公式

定义 直线 : L1 , 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x − = − = − 直线 : L2 , 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 | | cos( , ) m n p m n p m m n n p p L L + +  + + + + ^ = 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 两直线的夹角公式 二 两直线的夹角

例3求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线平行的直线方程 解设所求直线的方向向量为s={m,n,p}, 根据题意知⊥n1,S⊥五2, 取s=n1×n2={-4,-3,-1}, 所求直线的方程 x+3y-2x-5 3

例 3 求过点(−3,2,5)且与两平面x − 4z = 3和 2x − y − 5z = 1的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s = {m, n, p},  根据题意知 , n1 s   ⊥ , n2 s   ⊥ 取 n1 n2 s    =  = {−4,−3,−1}, . 1 5 3 2 4 3 − = − = x + y z 所求直线的方程