吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第三章 矩阵（3.4）转置以及特殊矩阵

§34转置以及特殊矩阵 定义41设A=(a),把的行写成列而得的 n×m矩阵称为的转置矩阵,记为A,即 a11a21 a a12a22 m2 A In a2n a mn 命题4.1设A,B均为m×n矩阵,则 国园國[回

§3.4 转置以及特殊矩阵 ( ) , , , ij m n T A a A n m A A × = × 定义4.1 设 把 的行写成列而得的 矩阵称为 的转置矩阵 记为 即 11 21 1 12 22 2 1 2 . m m T n n mn a a a a a a A a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … " # # # " 命 题 4.1 设 A B, , 均 为 m × n矩 阵 则

1.(A)=A T 2.(A+B a+B 2 3.(4B)=B4 证明(1)和(2是显然的 现在证明(3)设A=(n)m,B=(b)则AB=(c)m 其中cn=∑ab,从而AB)的第行第列元素为n=∑akb 再设4=(a1)m,B2=(b)m0则=an,b=b,从而BA 的第行第列元素为 国园國[回

( ) ; T T 1. A A = 2. ; ( )T T T A B + = A + B 3. . ( )T T T AB = B A 证明 (1)和(2)是显然的. 1 1 (3). ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) , ( ) , , , ij m n ij n p ij m p n n T ij ik kj ji jk ki k k T T T T ij n m ij p n ij ji ij ji A a B b AB c c a b AB i j c a b A a B b a a b b B A i j × × × = = ′ ′ ′ × × = = = = ∑ = ∑ = = ′ = = 现在证明 设 则 其中 从而 的第行第列元素为 再设 则 从而 的第行第列元素为

kaki kia ik ki, 故(AB)=BA7 例41对于分块矩阵的转置有, A(AY (A B= (AB); B A B(A 上页

1 1 1 , n n n ik kj ki jk jk ki k k k b a b a a b ′ ′ = = = ∑ ∑= = ∑ ( ) . T T T 故 AB = B A 例4.1 对于分块矩阵的转置有, ( ) ; ( ); . T T T T T T T T T T T A A A B A B B B A B A C C D B D ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠

定义4.2对矩阵A元素取共轭所得的矩阵 称为的共轭矩阵,记为A 定义43时是一个实方阵.若AA=AA=I 则称是正交矩阵 牛定义44设提是一个方阵若/=A则称4 是对称矩阵;若A=-A,则称A是反对称矩阵 对称矩阵与反对称矩阵分别有如下 形状: 国园國[回

, A A A 定义4.2 对矩阵 的元素取共轭所得的矩阵 称为 的共轭矩阵 记为 , . T T A AA A A I A 定义4.3 时 是一个实方阵.若 = = 则称 是正交矩阵 . , ; , T T A A A A A A A = = − 定义4.4 设 是一个方阵若 则称 是对称矩阵 若 则称 是反对称矩阵 对称矩阵与反对称矩阵分别有如下 形状:

b C 0 a b a o d b -c 0 生矩阵对角线上元素全相等的对角矩阵 称为纯量矩阵对角线元素为a纯量矩阵 恰为aL. 国园國[回

1 2 0 0 , n 0 a b c a b b a a d c c d a b c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ ⎝− − ⎠ … … % # % # # % % # % % " " 对角线以外元素全是 0的方阵称为对角 矩阵 ;对角线上元素全相等的对角矩阵 称为纯量矩阵 .对角线元素为 a纯量矩阵 恰为 aI

a10 0 a 0 0 0 a aⅠ= 0 o a 0 a 上面的对角矩阵也记作dag(a,a2…,an) 下列形状的方阵称为三角矩阵: 国园國[回

1 2 0 0 0 0 0 0 , . 0 0 0 0 n 0 0 a a a a aI a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " " % # % # # % % # % % " " 1 2 diag( , , , ). n 上面的对角矩阵也记作 a a … a 下列形状的方阵称为三角矩阵:

a11a1 2 ain a 0 0 0a22 2n 0 nn anI an2 a 显然设A=(an)是n阶矩阵,则 是对角矩阵4=.1≠月 ·A是上三角矩阵an=0,>j ·‘是下三角矩阵→an=0,i< 国园國[回

11 12 1 11 22 2 21 22 1 2 0 0 0 , . 0 0 0 n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜⎝ ⎠⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ " " " % # # % % # # # % " " ( ) 显然设 A a = ij 是 n阶矩阵,则 0, ; 0, ; 0, . ij ij ij A a i j A a i j A a i j • ⇔ = ≠ • ⇔ = > • ⇔ = < 是对角矩阵 是上三角矩阵 是下三角矩阵