吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第三章 矩阵 §3.1 矩阵的线性运算

第三章矩阵 》矩阵的研究背景 》矩阵研究的主要内容

第三章 矩阵 》矩阵的研究背景. 》矩阵研究的主要内容

背景 矩阵概念的出现与线性方程组和行列式 的研究有关,首先出现在19世纪中叶W.R Hamilton以及A. Cayley的研究工作.矩阵 论的基本结果应归于K. Weierstrass, C. Jordan与F.G. Frobenius等人的工 作.矩阵这个术语是J.J. Sylvester 1850)首次使用的 返回」

背景 矩阵概念的出现与线性方程组和行列式 的研究有关,首先出现在19世纪中叶W.R. Hamilton以及A.Cayley的研究工作.矩阵 论的基本结果应归于K. Weierstrass, C. Jordan 与F.G. Frobenius 等人的工 作.矩阵这个术语是J.J. Sylvester (1850)首次使用的. 返回

本章所介绍的矩阵的主要内容是 本章的主要内容之一是矩阵的几种最基本的“运算", 二元运算:加法、乘法, 一元运算:逆、数乘、转置、伴随, 数值函数:行列式、秩数,以及它们之间的关系.另一个重 要内容是矩阵的初等(行)变换及其标准形 返回

本章所介绍的矩阵的主要内容是: 本章的主要内容之一是矩阵的几种最基本的 “运算", 二元运算:加法、乘法, 一元运算:逆、数乘、转置、伴随, 数值函数:行列式、秩数, 以及它们之间的关系.另一个重 要内容是矩阵的初等(行)变换及其标准形. 返回

3.1矩阵的线性运算 定义1.1由集合S中的元素a1(i=1,2,…,m,j=1,2,,n) 所构成的m行n列的矩形表 a1a12 a In a 21 a 22 a 2 am1am2… a mn 称为S上一个m×n矩阵,通常简记为(a;)mnxn或(a) 个n×n矩阵称为n阶价矩阵或m阶方阵.在一个n阶矩阵中,从 左上角至右下角的一串元素a12a2,an称为矩阵的对角线 上页下 圆回

§3.1 矩阵的线性运算 (i m 1, 2,..., , j 1, 2,..., n) m n 定 义 1.1 由 集 合 S中 的 元 素 aij = = 所构成的 行 列 的矩形表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m m n a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ "" " " " " " 称为 上一个 矩阵，通常简记为 ( ) aij 或 ( ) aij . m n S m n × × 11 22 , , ,..., . nn n n n n n a a a 一个 × 矩阵称为 阶矩阵或 阶方阵.在一个 阶矩阵中 从 左上角至右下角的一串元素 称为矩阵的对角线

只有一行或列的知阵分别称为行向量或列向量.特被地,1×n矩阼称为 元行(向量;n×1矩阵称为元列(向量.向量将用希腊小写字母o,β等表示 如果两个矩阵的行数、列数都分别相等而且所有对应位置的元素都 分别相等则说这两个矩阵相等 矩阵常用大写字母A,B,C,等表示;特别地,m×n矩阵也常 用A B等表示 m×n3m× 下面引入矩阵的运算 从今之后,除非特别说明,矩阵均指数域Ω上的矩阵 定义12(矩阵的加法)设A,B都是m×n矩阵把它们对应位置的元素相加 而得到的mX矩阵称为A的和记为4+B即若A=(a),B=(,则规定 ah1+b1a2+b2….ahn+bn A+B=+/a1+b1a+如”+ aml+bml am2 +bm2. amm tb 上页下 圆回

只有一行或一列的矩阵分别称为行向量或列向量.特被地, 1 n矩阵称为n 元行( 向量);n 1 矩阵称为n元列(向量).向量将用希腊小写字母α β, 等表示 × × 如果两个矩阵的行数、列数都分别相等 ,而且所有对应位置的元素都 分别相等 ,则说这两个矩阵相等. , . A B m n× × m n 矩阵常用大写字母A,B,C,...等表示;特别地, m × n矩阵也常 用 等表示 从今之后,除非特别说明,矩阵均指数域 Ω上的矩阵 下面引入矩阵的运算. ( ) ( ) 1.2( ) , , , , . , , , ij ij A B m n m n A B A B A a B b × × + = = 定义 矩阵的加法 设 都是 矩阵 把它们对应位置的元素相加 而得到的 矩阵称为 的和 记为 即 若 则规定 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 ( ) . n n n n ij ij m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b a b ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ + + + ⎟ ⎝ ⎠ … " # # #

设A=(an)mn,则记-A=(an)m×n称为的负矩阵我们也可 以定义矩阵的减法:B一A等于B元素减去A的对应元素所得矩阵显然 B-A=B+(-A) 定义1.3(矩阵的数乘)用数c去乘矩阵A的所有元素而得到 的矩阵称为c与A的积,记为cA或Ac.即,若A=(a1),则规定 Ca11 Ca12 Cain ca21 ca22... ca a 2n ca=(cai= cam1 cam2 camn 元素全是0的矩阵称为m×n零矩阵,记为0或0mxm,它们和数中 的0相似. 上页下 圆回

( ) ( ) ( ) 设 则记 称为 的负矩阵我们也可 以定义矩阵的减法 等于 的元素减去 的对应元素所得矩阵显然 , , . : . . A aij m n A aij m n A B A B A B A B A × = − = − × − − = + − ( ij ) 定义1.3 (矩阵的数乘)用数c去乘矩阵A的所有元素而得到 的矩阵称为c与A的积,记为cA或Ac.即,若A= a ,则规定 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) . n n i j m m m n c a c a c a c a c a c a cA c a c a c a c a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … " # # # " 元素全是0的矩阵称为m n零矩阵,记为0或0m n 它们和数中 的0相似. × ×

命题1.1设A,B,C均为m×n矩阵,a,b是数,则有 1加法结合律:A+B)+c=A+(B+C 2加法交换律:A+B=B+A 3.A+ m×n =A 4.A+(-A)=0mxm; 5. a(a+b=aA+bB 6.(a+bA=aA+ba 7.(ab)A=a(b4. 上页

命题1.1 设A,B,C均为m × n矩阵,a,b是数,则有 1.加法结合律:A B + +) ( C = A + B C + ); 2.加法交换律 : ; 3. 0 ; 4. ( ) 0 ; 5. ( ) ; 6. ( ) ; 7. ( ) ( ). m n m n A B B A A A A A a A B aA bB a b A aA bA ab A a bA × × + = + + = + − = + = + + = + =

定义1.4对于一组m×n矩阵A1,A和数G,…c,矩阵 C1A1+…+ctA 称为A1…,A4的一个线性组合 例如,设E1;表示第第例列元素为1,其余元素为零的m×n矩阵 (称为m×n矩阵单位),则容易验证,对于任意m×n矩阵A=(a1),均有 A 人4每个矩阵都是矩阵单位的线性组合比如 2-1_(20.(0-1,00 0-300(00/(0-3 2E1-E12-3E2 上页下 圆回

定义 对于一组 矩阵 和数 矩阵 称为 的一个线性组合 1 1 1 1 1 1.4 ,..., ,..., , ,..., . t t t t t m n A A c c c A c A A A × + + " ( ) ij ij 例如,设E 表示第 行第 列元素为1,其余元素为零的m n矩阵 (称为m n矩阵单位),则容易验证,对于任意m n矩阵A= a 均有 即每个矩阵都是矩阵单位的线性组合比如 1 1 , , . m n ij ij i j i j A a E = = × × × = ∑ ∑ 11 12 22 2 1 2 0 0 1 0 0 2 3 . 0 3 0 0 0 0 0 3 E E E ⎛ ⎞ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ = − − ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

特别地,设 1 0 2 0 0 1 则每个n元列都是6,,6,的线性组合,比如 a 0 a 2 0 0 a3| =a1 0+a2 0 a n 0 a n 0 a11+a22+…+anen 上页

1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 , , , , 0 0 0 1 ε ε ε n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ … # # # 特别地，设 n ε ε 则每个n元列都是 1,..., 的 线 性 组 合.比 如 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 n n n a a a a a a a a a ε ε a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + + " # # # # " . e n