吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第二章 行列式 §2.4 行列式的计算举例

§24行列式的计算举例 例41计算下面的n+1阶行列式, 1÷ D 其中空白处的元素均为零 解将Dn按第n+1列展开,可得 国园國[回

§2.4 行列式 的计算举例 例4.1 计算下面的n +1 阶行列式, 0 1 1 1 1 , n n n n a b b c a D c a + = " # % 其中空白处的元素均为零. 解 将Dn+1按第n +1 列展开,可得

D1=a, D+(1)b 0 D n n -_b C nn 即Dn1=anDn-a1… a,bc,解此递推公式 可得, n+ = 041…an-bc1a2…an1-ab2C2a3 n 上页下 圆回

1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( 1) 0 . n n n n n n n n n n n n c a D a D b a c a D a a b c + + + − − = + − = − # % # % " 即 D a n n 1 1 Dn n 1 n n a a b c + = − " − , 解此递推公式 可得, D a n n 1 0 1 1 1 2 n 1 2 2 3 n a a b c a a a b c a a + = " " − − " 1 1 . n n n a a b c −""− " −

例42计算n阶行列式 a+b ab 1 atb D ab/a×b a+bl 解把D,按第一列展开可得, 国园國[回

例4.2 计算n阶行列式 1 , . 1 n a b ab a b D a b ab a b + + = ≠ + % % % 解 把Dn按第一列展开可得

D=(a+bD-I ab 0 1 atb ab ab 1 a+b =(a+bDn--abDn-2 上页下 圆回

1 ( ) D a n n = + b D − 2 1 0 0 1 ( 1) 1 ab a b ab ab a b + + + − + " " % % % % % 1 2 ( ) . n n = a + − b D − abD −

由此可得Dn-aDn1=b(Dn1-aDn2) 从而Dn-aDn1=b2(D2-D)=b 由a,b的对称性又可得, D-bD n n-1a 从这两个等式可解得 n+ +1 D 国园國[回

由此可得 1 1 2 ( ), D a n n D n n − − = − b D − − aD 从而 由a b, 的对称性又可得, 从这两个等式可解得 2 1 2 1 ( ) . n n D a n n D b D D b − − − = − = 1 . n D b n n D a − − = 1 1 . n n a b Dn a b + + −− =

例43证明 Vandermonde行列式 1 x Xn =∏(x-x) 1≤j<i≤n n-1 n-1 2 n 由此可知,Vn≠0分x…,2互异 证明对n用数学归纳法 当n=2时结论显然成立 国园國[回

例4.3 证明Vandermonde行列式 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ). n n i j j i n n n n n x x x V x x x x x ≤ < ≤ − − − = = ∏ − " " # # # " 由此可知, 1 0 , , V x n n ≠ ⇔ … x 互异. 证明 对n 用数学归纳法. 当n = 2 时,结论显然成立

假设7m1=I(x1-x) 1≤ji≤n-1 从下到上依次将Vn的每一行的xn倍加 到下一行,可得 X-x x.1-x x-2(x1-x,)…xn=2(xm1-xn)0 国园國[回

假设 1 1 1 ( ). n j i j i n V x x − ≤ < ≤ − = ∏ − 从下到上依次将Vn的每一行的 n −x 倍加 到下一行, 可得 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) 0 n n n n n n n n n n x x x x V x x x x x x − − − − − − − = − − " " # # #

xi=xn x,1-X tn x1-x, n-1(n-1 =(x1-x n =∏(x-x) 1≤j<i≤n 下面的例子所使用的所谓“加边法”,多用 于处理各行(或列)有相同字母的行列式 国园國[回

1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n n n n n n n n n n n n n n i j j i n x x x x x x x x x x x x x x V x x − + − − − − − − ≤ < ≤ − − = − − − = − − = − ∏ " # # " " 下面的例子所使用的所谓 “加边法 ” ,多用 于处理各行 (或列 )有相同字母的行列式

例44计算行列式 a+x a+. a+x a+ +x2…a+xn D a+x a +x2 a+X 解 上页下 圆回

例4.4 计算行列式 1 2 2 2 2 1 2 1 2 . n n n n n n n a x a x a x a x a x a x D a x a x a x + + + + + + = + + + " " # # # " 解

例4.5计算n阶行列式 X a a b x D ≠b b x 把腩列式的最后一列看做两列之和, 可得 国园國[回

例4.5 计算n阶行列式 , . n x a a b x D a b a b b x = ≠ " % # # % % " 把行列式的最后一列看做两列之和 解 , 可得