吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第四章 线性方程组 §4.1 列向量组

第四章线性方程纽 》线性方程组的研究背景 》线性方程组的发展历史 》线性方程组研究的主要问题, 本章目录: §4.1列向量组 §4.2线性方程组的解法 §4.3线性方程组的解的结构

第四章 线性方程组 》线性方程组的研究背景. 》线性方程组的发展历史. 》线性方程组研究的主要问题. 本章目录： §4.1 列向量组 §4.2 线性方程组的解法 §4.3 线性方程组的解的结构

背景 线性方程组是线性代数历史上的第一个 分支,是线性代数许多思想的源头.比如,行 列式和矩阵都产生于方程组的研究.线性方 程组不但是最基本最重要的数学理论和研 究工具,而且有广泛的应用 返回」

背景 线性方程组是线性代数历史上的第一个 分支,是线性代数许多思想的源头.比如,行 列式和矩阵都产生于方程组的研究.线性方 程组不但是最基本最重要的数学理论和研 究工具,而且有广泛的应用. 返回

线性方程组的发展历史 ·公元前三世纪左右,巴比伦泥板中就已出现线性方程组 ·公元前2-1世纪,“九章算术“中,出现了解线性方程组的 消元法 ·1687年, Le ibn itz开创了线性方程组的较为系统的研究 1750年,H. Cramer发表了用行列式解线性方程组的: Cr amer法则 ·1849年, Gauss提出了求数值系数的线性方程组重要方法 - Gauss消元法 ·1877年,F.G. Frobenius提出了矩阵秩数的概念 19世纪末叶,完成了线性方程组的一般理论的构造

线性方程组的发展历史 • 公元前三世纪左右,巴比伦泥板中就已出现线性方程组. • 公元前2-1世纪， “九章算术 “中, 出现了解线性方程组的 消元法. • 1687年，Leibnitz 开创了线性方程组的较为系统的研究. • 1750年，H.Cramer发表了用行列式解线性方程组的: ---Cramer法则. • 1849年,Gauss 提出了求数值系数的线性方程组重要方法 ---Gauss消元法 • 1877年,F.G.Frobenius提出了矩阵秩数的概念. • 19世纪末叶，完成了线性方程组的一般理论的构造. 返回

研究线性方程组主要解决下面三个问题: 1.方程组是否有解,即解的存在性问题; 2.若方程组有解,那么有多少解,解与解之间有什么 关系,即解的结构问题; 3.解的求法 返回

研究线性方程组主要解决下面三个问题: 1.方程组是否有解,即解的存在性问题; 2.若方程组有解,那么有多少解,解与解之间有什么 关系,即解的结构问题; 3. 解的求法. 返回

§4.1列向量组 设A+b是一个n元线性方程组,则它的一个解就 是一个n元列向量(称为解向量) 为了描述A=b的解的结构,我们需要先研究 n 元列向量 若向量a是向量a1,a2…,a的一个线性组合,则称a 可由a,2,…,3线性表示.设a=aq1+a202+…+aas, 那么用矩阵乘法表示有: a C=(c1,O2, 我们有下面两个命题: 上页下 圆回

§4.1 列向量组 设 AX=b 是一个 n 元线性方程组,则它的一个解就 是一个 n 元列向量(称为解向量). 为了描述 AX=b 的解的结构, 我们需要先研究 n 元列向量. 若向量 是向量 的一个线性组合，则称 可由 线性表示.设 那么用矩阵乘法表示有： 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , s s s a a a s α α α α α α α α α = + α α + + α … … " 1 2 1 2 ( , , , ) . s s a a a α α α α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # 我们有下面两个命题：

命题1.1向量组a1,a2,…,可由,2,,线性表示当 且仅当有t×s矩阵A,使得(a,a2,…,a3)=(31,B2,…,)A 此时的第例元素恰为表示成,,…,B的线性组合时的 系数. 证明:若向量组a1,a,…,a3可由月,2,…,线性表示,即每个a 均可由角,B2,…,线性表示,则有 11 a21 a1=a11+a22+…+anB1=(31,A2,…,B) a a1s as=as1+as2+…+as1=(,2,…,B) ts 国园國[回

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1.1 , , , , , , , , , ) ( , , , ) ; , , , s t s t j t A A A j α α α β β β α α α β β β α β β β × = … … … … … 命题 向量组 可由 线性表示当 且仅当有t s矩阵 ，使得( 此时 的第 列元素恰为 表示成 的线性组合时的 系数. 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , s i t t a a a β β β a β β β … … … 证明：若向量组 可由 线性表示，即每个 均可由 线性表示，则有 11 21 1 11 1 21 2 1 1 2 1 ( , , , ) , t t t t a a a a a a α β = + β + + β = β β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " # """""" 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) , s s s s s ts t t ts a a a a a a α β β β β β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " #

从而由矩阵的乘法可知 a a a21 a1 )=(31,B2,…,B a t1 a 第1列第s列 命题成立 国园國[回

从而由矩阵的乘法可知: 11 1 21 1 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) . s s s t t t s a a a a a a α α α β β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " " … # # " 第1列 第s列 命题成立

命题12(线性表示的传递性)设有三个有限向量组 U、V和W.若U可由V线性表示,V可由W表示,则U可由 W表示 线性表示 W U 平下面引入线性相关与线性无关的概念 定义1.1设a1,Q2,…,a3是一组向量,若有一组不全为 零的数q,C2,…,C使得 C1a1+a2a2+…+csas=0 则称a,a2,,a3线性相关,否则称它们线性无关 上页下 圆回

命题1.2 (线性表示的传递性) 设有三个有限向量组: U、V和W. 若U 可由V线性表示, V可由W表示, 则U可由 W表示. W U V 线性表示 下面引入线性相关与线性无关的概念． 1 2 1 2 1.1 , , , , , , s c c cs α α … α … 定义 设 是一组向量，若有一组不全为 零的数 使得 1 1 2 2 0, c c α α + + " + cs s α = 1 2 , , , 则称α α … αs线性相关，否则称它们线性无关

线性关系与方程组的联系: 线性关系 方程组 一组列向量ay92…,,→矩阵A=(a1,2,,a) n,2,…,线性相关·AX=0有非零解 a1,a2,,3线性无关 AX=0只有非零解 上页下 圆回

线性关系与方程组的联系： 线性关系 方程组 1 2 , , , 一组列向量α α … αs 1 2 ( , , , ) 矩阵 A = α α … αs 1 2 , , , α α … αs线性相关 AX = 0有非零解 α α1 2 , , …,αs线性无关 AX = 0只有非零解

我们有下面的命题: 命题1.3对于向量组a1,a2,…,s,下列条件等价: 1.a1,a2,…,as线性无关; 2.方程xa1+x2Q2+…+xa3只有零解 3.对于任意一组不全为零的数a,C2,…,c均有 1Q1+C2Q2+…+csas≠0 4.对于任意一组数a1,C2,c,若cq1+Q2Q2+…+csas=0 必有a1=c2=…=Cs=0 国园國[回

我们有下面的命题： 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , , , 3. , , , 0, 4. , , , , 0, 0 s x s s s s s s s s x x x c c c c c c c c c c c c c c c α α α α α α α α α α α α + + + + + + ≠ + + + = = = = = … … … " … " … 1. 线性无关； 2.方程 只有零解 对于任意一组不全为零的数 均有 对于任意一组数 若 必有 1.3 1 2 , , , 命题 对于向量组α α … αs，下列条件等价：