同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第一章 函数极限（1.4）数列极限

教列极限 、概念的引入 1、割圆术: “對之弥细,所 失弥少,割之又 割,以至于不可 割,则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽

数列极限 一、概念的引入 1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽 播放

正六边形的面积A1 正十二边形的面积 R 正6×2-形的面积An 194122139 n

正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2   正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 ,  , An ,  S R

2、截丈问题: 尺之棰,日截其半,万世不竭” 第一天截下的杖长为X1= 第二天截下的杖长总和为X222 十 第n天截下的杖长总和为X, 十+∴ Ⅹ=1 2

2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = +   ; 2 1 2 1 2 1 Xn 2 n 第n天截下的杖长总和为 = + ++ Xn n 2 1 = 1 − 1

二、数列的定义 定义:按自然数1,2,3,…编号依次排列的一列数 1929 称为无穷数列简称数列其中的每个数称为数 列的项xn称为通项一般项数列(1)记为xn} 例如2,4,8,…,2",…; 111 2482n

二、数列的定义 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数 x1 , x2 ,, xn , (1) 称 为无穷数列,简 称数 列.其中的每个数称为数 列的项, n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{ }n x . 例如 2,4,8,  ,2 , ; n {2 } n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1  n  } 2 1 { n

n+1 {(-1) n-1 9 9 4n+(-1)”1 n+(-1) 23 n ,3+√3,…,3+√3+√…+√3,… 注意:1,数列对应着数轴上一个点列可看作 动点在数轴上依次取x1,x2,…,xn 2数列是整标函数xn=∫()

1, 1,1, ,( 1) , ; −  − n+1  {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1   n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 3, 3 + 3,  , 3 + 3 + + 3 ,  注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2  xn  1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n). n =

三、数列的极限 观察数列{x,=1当n→∞时的变化趋势 观察数列+1y↓当n→>∞时的变化趋势 ● 1 0.75 「播放

. ( 1) 1 1 观察数列 当 → 时的变化趋势       − + − n n n 播放 三、数列的极限 观察数列 当 → 时的变化趋势       = n n xn 1

问题:当n无限增大时,x是否无限接近于某 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时,x=1+)"1 无限接近于 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的 凭观察能判定数列{xn=(1+)y}的极限是多少吗 显然不能 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语 刻划它. 1)

问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? n n x 通过上面演示实验的观察: 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的 凭观察能判定数列       = + n n n x ) 1 (1 的极限是多少吗 显然不能 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.  xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = −

给定,由 100n100 只要n>100时,有xn-1100时,有xn-11000时,有xn-10,只要n>N(=时,有xn-1<E成立 8 这就是“当n无限增大时,xn无限地接近于1”的实 质和精确的数学描述

, 100 1 给定 , 100 1 1  n 由 只要 n  100时, , 100 1 有 xn − 1  , 1000 1 给定 只要 n  1000时, , 1000 1 有 xn − 1  , 10000 1 给定 只要 n  10000时, , 10000 1 有 xn − 1  给定   0, ]) , 1 只要 ( [ 时  n  N = 有 − 1  成立. xn 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实 质和精确的数学描述

定义如果对于任意给定的正数E(不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n>N时的一切xn 不等式xn-a<8都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列x收敛于a,记为 lim x=a,或xn→a(n→∞) n→0 如果数列没有极限,就说数列是发散的

如果数列没有极限,就说数列是发散的. 定 义 如果对于任意给定的正数(不论它多么 小) ,总存在正数N ,使得对于n  N 时的一切xn , 不等式 x − a   n 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a,记 为 lim x a, n n = → 或x → a (n → ). n

注 ①定义1习惯上称为极限的￡—N定义,它用两个 动态指标和N刻画了极限的实质,用xnl0标志着“要多小”的要求,用n>N表示n充分 大。这个定义有三个要素:1,正数E,20,正数 N,3,不等式n叫N) ②定义中的ε具有二重性:一是的任意性,二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了x逼近a时要 经历一个无限的过程(这个无限过程通过的任意 性来实现),但这个无限过程又要一步步地实现, 而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通 过的相对固定性来实现)

注 ①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分 大。这个定义有三个要素：1 0 ，正数ε，2 0 ，正数 N，3 0，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N） ②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过ε的相对固定性来实现）