同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第三章（3.3）曲率

曲率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向,但 是朝同一方向弯曲的两条曲线,其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量,它 等于单位路程上方向(角度—切线的倾斜角) 的改变量

曲 率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量

、弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点 0 +△ 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2)AM=s,当AM的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号

一 、弧微分 N R T A x0 M x x  x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM  s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM 

单调增函数s=s(x) R 设N(x+△x,y+△y),如图, x+△vx MN<<M+NT当Ax→0时 MN=(△r2+(△p)2=1+()△x→1+y2t, X 众N=△→ MT=√d)2+(dy)2=1+y2d NT=4y-d→0,故=1+y2x,(弧微分公式 s=s(x)为单调增函数,故d=√1+y"x

单调增函数 s  s(x). 设N(x  x, y  y), 如图， MN  MN  MT  NT  当x  0时, 2 2 MN  (x)  (y) x x y      2 1 ( ) 1 , 2   y dx MN  s   ds, 2 2 MT  (dx)  (dy) 1 , 2   y dx NT  y  dy  0, 1 . 2 故 ds   y dx  s  s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds   y dx 弧微分公式 N M T A R x0 x x  x x y o

、曲率及其计算公式 1曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 2 △S M △S M M △S,N 人△ 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大

二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 )2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1 )

设曲线C是光滑的, M是基点.MP=△s, M △S M→M切线转角为△a.MSM +△o 定义 弧段MM的平均曲率为K △a 曲线C在点M处的曲率K=lim △a △s>0△s 在m4a2=a存在的条件下,K=(a △s→>0△sd ds

)     S S ) . M . M C M0 y o x . s MM K      弧段 的平均曲率为 （ 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM  s, （ M  M 切线转角为  . 定义 s K s     0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s        . ds d K  

注意:(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2曲率的计算公式 设y=∫(x)二阶可导,tana=y, 有 a = arctan y', 1+y ds=√1+yd k (1+y2)2

2.曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y  f (x)二阶可导, tan  y , , 1 2 dx y y d      . (1 ) 2 3 2 y y k      有  arctan y , 1 . 2 ds   y dx

设/x=yO 二阶可导, y=y(t), dy_yoo dy o'(ty()-"(ty'(t) dx (t) dx2 q°(t) ksp()y"(r)-g"(m)y'() p2(t)+y2(t)2

, ( ), ( ), 设 二阶可导      y t x t   . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k                 , ( ) ( ) t t dx dy       . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y            

例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, 2a [1+(2ax +6)12 显然,当x=-b时,k最大 2a b b 又:(m 2_4C )为抛物线的顶点, 4a ∴抛物线在顶点处的曲率最大

例1 ? 抛物线 y  ax 2  bx  c 上哪一点的曲率最大 解 y  2ax  b, y  2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k     显然, , 2 当 时 a b x   k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b     抛物线在顶点处的曲率 最大

例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段, 使曲率连续地由零过渡到(R为圆弧轨道的 R 半径通常用三次抛物线y x°,x∈[0,x 6RI 作为缓冲段OA,其中l为OA的长度,验证缓 冲段OA在始端O的曲率为零,并且当很小 R <<1)时,在终端A的曲率近似为 R R

). ( 1 , , 半径 使曲率连续地由零过渡 到 为圆弧轨道的 稳，往往在直道和弯道 之间接 入一段缓冲段 的曲率突然改变 容易发生事故，为了行 驶平 铁轨由直道转入圆弧 弯 道时，若接头处 R R 例2 . 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 时，在终端 的曲率近似为 冲段 在始端 的曲率为零 并且当 很小 作为缓冲段 ，其中 为 的长度，验证缓 通常用三次抛物线 ， ．   

证如图 x的负半轴表示直道, R OA是缓冲段,AB是圆弧轨道 A(x0,y0) 在缓冲段上, IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII\ C(x0,0) 2RI Rl 在x=0处,y=0,y=0,故缓冲始点的曲率k0=0 实际要求≈x

x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x 证 如图 x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道. （ （ 在缓冲段上, , 2 1 2 x Rl y  . 1 x Rl y  在x  0处, y  0, y  0, 0. 故缓冲始点的曲率 k0  实际要求 , 0 l  x l