同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第九章 二重积分（9.6）重积分应用

重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时, 相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d的形式, 其中(x,y)在do内.这个∫(x,y)do称为所求量U 的元素,记为U,所求量的积分表达式为 U=llf(x, y)do

d d f (x, y)d (x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为  = D U f (x, y)d dU 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中

对三重积分而言Ⅴbc2,v(x,y,)∈ AU≈∫(x,,z)h→U=f(x,y,z)h U=llf(,, a)di 1。平面图形的面积 由二重积分的性质,当fx,y)=1时 区域D的面积=do 2。空间立体的体积 设曲面的方程为z=f(x,y)≥0,(x,y)∈D

dv   ,(x, y,z)dv U  f (x, y,z)dv  dU = f (x, y,z)dv  =  U f (x, y,z)dv 1。平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积  = D A d 2。空间立体的体积 设曲面的方程为 z = f (x, y)  0,(x, y) D 对三重积分而言

则曲顶柱体的体积为=f(x,)da 由三重积分的物理意义知空间闭区域Ω2的体积为 ∫』 例1计算由曲面z=1-4x2-y 与xOy面所围成的立体的体积 解一用二重积分 D:42+y2s1=(-4x2-y) 由对称性得

则曲顶柱体的体积为  = D V f (x, y)d 由三重积分的物理意义知空间闭区域  的体积为  =  V dv 计算由曲面 2 2 z = 1− 4x − y 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 : 4 1 2 2 D x + y   = − − D V (1 4x y )dxdy 2 2 由对称性得 例1

14 V=41-4x2-y2)dcy=4d(-4x2-y2) 0 0 8 (1-4x)2dx=3. cos tdt 3 32 0 解二用三重积分 0

   − = − − = − − 1 2 2 1 0 1 4 0 2 2 2 2 4 (1 4 ) 4 (1 4 ) D x V x y dxdy dx x y dy   = − =  = 2 0 4 2 1 0 2 3 2 4 cos 2 1 3 8 (1 4 ) 3 8   x dx tdt 解二 用三重积分   = =  1 V dv 4 dv    − − − = = 2 1 0 1 4 0 1 4 0 2 2 2 4 4 x x y dx dy dz 

例2求z=2-x2-y2z=x2+y2所围成的立体的体积 解一V=V2-V1=(2-x2-y2do (x2+y2)d 2j(-x2-y2)da(用极坐标) =2|40(1-r2)rt= 解二Ω是柱形区域,用柱坐标 v=ll dv= do dr rdz =27|r(2-2r2)d=

求 z = 2 − x 2 − y 2 ,z = x 2 + y 2 所围成的立体的体积 解一   = − = − − − + D D V V V (2 x y )d (x y )d 2 2 2 2 2 1  = − − D 2 (1 x y )d 2 2 （用极坐标）   = − =    2 0 1 0 2 2 d (1 r )rdr 解二  是柱形区域，用柱坐标  =  V dv    − =   2 0 1 0 2 2 2 r r d dr rdz  = − = 1 0 2 2 r(2 2r )dr  例2

3。曲面的面积 ①.设曲面的方程为:z=f(x,y)z 在xoy面上的投影区域为D, dA 如图,设小区域do∈D, 点(x,y)∈do, x.l do ∑为S上过M(x,y,f(x,y) 的切平面 da为d4在xoy面上的投影, .d=lA·cosy

①．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 点(x, y) d , 如图， 设小区域 d  D, . ( , , ( , )) 的切平面  为 S 上过 M x y f x y d (x, y) M dA x y z s  o  d 为dA 在 xoy 面上的投影,  d = dA cos , 3。曲面的面积

cos r d=1+f2 +f doy 1+f+f y 曲面S的面积元素 1+2+2lo, 同理可得 ②.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面面积公式为A=1(2 D a/; ③.设曲面的方程为:y=h(x,x) 曲面积公式为们(1(0)()么

, 1 1 cos 2 2 x y + f + f   = dA = + f x + f y d 2 2 1 曲面S的面积元素 1 , 2 2   = + + D x y A f f d ②．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ; 2 2 dydz z x y x A Dyz           +        = + ③．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 . 2 2 dzdx x y z y A Dzx           +        = + 同理可得

例3.求球面x2+y2+z2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A1, D 2 y2≤ax,(x,y≥0) 0.5 曲面的方程为z=a2-x2-y2, 0.5 2 于是1+ z 十 ax a=x=y 面积A=41+x2+xn2d

例 3 . 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 解 由对称性知 1 A = 4A , : , ( , 0) 2 2 D1 x + y  ax x y  曲面的方程为 2 2 2 z = a − x − y , 于是 2 2 1          +        + y z x z , 2 2 2 a x y a − − = 面积 A z z dxdy D =  + x + y 1 2 2 4 1

dxdy - acos =4ad6 以r=1ma2-42 例4求半径为R的球面的表面积 解曲面方程为z=√R2-x2-y A=84=8+2+2dp(由对称性 DiR R R 2 ,2d=8|40 R R =4mR2

 − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a   − =    cos 0 2 2 0 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = a − a 求半径为R的球面的表面积 解 曲面方程为 2 2 2 z = R − x − y （由对称性）  = = + + 1 2 2 1 8 8 1 D x y A A z z dxdy dxdy R x y R D  − − = 1 2 2 2 8 rdr R r R d R   − = 2 0 0 2 2 8   2 = 4R 例4

例5计算圆柱面x+=a2 被圆柱面x+y2=a所截的部的面积 解由对称性可知A=8A1 A1的方程z=√a2-x TZ +Z a -x dtdy=「ac 2 2 2 2 a -x - A=80

计算圆柱面 2 2 2 x + z = a 被圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 所截的部分的面积 解 由对称性可知A=8A1 A1 的方程 2 2 z = a − x 2 2 2 2 1 a x a z z x y − + + =    − − = − 1 2 2 0 0 2 2 2 2 D a a x dy a x a dxdy dx a x a 2 = a 2  A = 8a 例5