同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第九章 二重积分（9.2）二重积分的计算法（1/2）

二重积分的计算法(1) 利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为:a≤x≤b,q1(x)≤y≤g2(x) X一型] y=q2() q2(x) D D y=P,(r) y=q,( 其中函数q1(x)、2(x)在区间[,b上连续

如果积分区域为： a  x  b, ( ) ( ). 1 x  y   2 x ［X－型］ ( ) 2 y =  x a b D ( ) 1 y =  x D a b ( ) 2 y =  x ( ) 1 y =  x 其中函数 1 (x)、 ( ) 在区间 上连续. 2  x [a,b] 二重积分的计算法(1) 一、利用直角坐标系计算二重积分

∫(x,y)do的值等于以D为底,以曲面z= f(x,y)为曲顶的柱体的体积 应用计算“平行截 z=f(r, y) 面面积为已知的立 体求体积”的方法, d 得』f(x,D)=/m(x代xP、y=9( φ1(x)

为曲顶的柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D =    应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, a 0 x b z y y = 2 (x) x ( ) 1 y =  x z = f (x, y) ( ) 0 A x 得 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1    = D b a x x f x y d dx f x y dy   

如果积分区域为:c≤y≤d,1(y)sxs92() LY一型] q1() x=o(y) D D 2(y) (y) TI d f2(y) f(x, y)do= dy f(x, y)dx. q1(y) X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于c轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点

如果积分区域为： c  y  d, ( ) ( ). 1 2  y  x   y ［Y－型］ ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D c d c d ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1    = D d c y y f x y d dy f x y dx    X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点

若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 注i)二重积分化累次积分的步骤 ①画域,②选序,③定限 ⅱ)累次积分中积分的上限不小于下限 ⅲ)二重积分化累次积分定限是关键,积分限 要根据积分区域的形状来确定,这首先要画好 区域的草图,画好围成D的几条边界线

若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3     = + + D D D D D3 D2 D1 注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤 ①画域，②选序，③定限 ⅱ）累次积分中积分的上限不小于 下限 ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好 区域的草图，——画好围成D的几条边界线

若是X—型,就先y后x 若是Y—型,就先x后y 注意内层积分限是外层积分变量的函数,外层 积分限是常数。 例1改变积分。(x,)的次序 0 0 解积分区域如图 0.4 原式-dr(xy)d 0,30,40.60,81

若是X—型， 就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y ， 注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层 积分限是常数。 例 1 改变积分   − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 解 积分区域如图 y = 1− x 原式   − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , )

例2改变积分 2x-x2 dx f(x,y)d+axf(x,y)的次序 0 解积分区域如图 =2-x 2x 原式=上f(x,d 例3计算∫x2bDy=x,y=x2 解 ysx 0≤x<1 X一型

例 2 改变积分     − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 解 积分区域如图 y = 2 − x 2 y = 2x − x 原式   − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 例3 计算  D xy dxdy 2 D 2 y = x, y = x        0 1 2 x 解一 x y x D： X—型

xydxdy=dx ydy x(x-x)dx 40 解二DJsx≤√ 0≤y≤1Y一型 I=4x2a=y2(y-y2) 例4计算 ydh,D:y=x,P=2,x”=1 D

D     = − = = 1 0 3 6 1 0 2 2 40 1 ( ) 3 1 2 x x x dx xy dxdy dx y dy D x x 解二 D        0 y 1 y x y Y—型    = = − = 1 0 2 2 1 0 2 40 1 ( ) 2 1 I dy xy dx y y y dy y y 例4 计算  = = = D dxdy D y x y xy x y , : , 2, 1 2 2

解D{y ≤x≤yY—型 l≤y≤2 s号………以 dy ∫p(y2-y)= 9 若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范 围内有不同的表达式,须分片积分,计算较麻烦

解 D         1 2 1 y x y y Y—型 I =   2 1 1 2 y 2 y dx x y dy 若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范 围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。  = − = 2 1 2 3 4 9 y ( y y)dy 2 1 2 1 2 1

由以上两例可见,为了使二重积分的计算较为 方便,究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定,在积分区域的表达式中选取比较简单 的一组,从而确定相应的公式,同时还要兼顾被积 函数的特点,看被积函数对哪一个变量较容易积分, 总之要兼顾积分区域和被积函数的特点 例5计算 JJ ye dxdy, D:x=1,x=2,y=2,xy=1 解D是x—型区域|=∫yep 要分部积分,不易计算

由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为 方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单 的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积 函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分， 总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。 例5 计算  = = = = D x y ye dxdy,D : x 1, x 2, y 2, xy 1 解 D是X—型区域   = 2 1 2 1 x xy I dx ye dy 要分部积分，不易计算

若先x后y则须分片 22 Ⅰ=pec+ ye dx 易见尽管须分片积分,但 由于被积函数的特点,积 分相对而言也较方便。 例6改变积分df(x,y(a>0) 的次序. 解 p=√2axy=v2ax-x2 →x=a土2-y

若先 x 后 y 则须分片     = + 2 1 2 1 1 0 2 1 I dy ye dx dy ye dx x y y x y 易见尽管须分片积分，但 由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。 例 6 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2    − dx f x y dy a a ax ax x 的次序. 解 y = 2ax 2 y = 2ax − x 2 2  x = a  a − y D