同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第七章 向量代数与空间解析几何（7.1）空间直角坐标系

内间直肩坐标系 这一章,我们为学习多元函数微积分学 作准备,介绍空间解析几何和向量代数。这 是两部分相互关联的内容。用代数的方法研 究空间图形就是空间解析几何,它是平面解 析几何的推广。向量代数则是研究空间解析 几何的有力工具。这部分内容在自然科学和 工程技术领域中有着十分广泛的应用,同时 也是一种很重要的数学工具

空间直角坐标系 这一章，我们为学习多元函数微积分学 作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这 是两部分相互关联的内容。用代数的方法研 究空间图形就是空间解析几何，它是平面解 析几何的推广。向量代数则是研究空间解析 几何的有力工具。这部分内容在自然科学和 工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时 也是一种很重要的数学工具

本章先引入空间直角坐标系,把点和有序数组、 空间图形和代数方程联系起来,建立起对应关系, 给数和代数方程以几何直观意义,从而可以利用代 数方法研究空间图形的性质和相互关系;接着介绍 向量概念,然后以向量代数为工具,重点讨论空间 基本图类平面,直线,常用的曲面和曲线。 重点 向量及其坐标表示 向量的数量积,向量积 直线与平面方程

本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、 空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系， 给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代 数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍 向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间 基本图类——平面，直线，常用的曲面和曲线。 重点 向量及其坐标表示 向量的数量积，向量积 直线与平面方程

难点 空间图形的想象能力和描绘能力 基本要求 ①弄清空间直角坐标系概念,会求两点间的 距离 ②掌握向量概念,会用坐标表示向量 ③掌握向量代数的基本知识 ④熟记两向量平行、垂直,三向量共面的条件 并能正确运用

难点 空间图形的想象能力和描绘能力 基本要求 ①弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的 距离 ②掌握向量概念，会用坐标表示向量 ③掌握向量代数的基本知识 ④熟记两向量平行、垂直，三向量共面的条件 并能正确运用

⑤掌握平面方程的各种形式,会求平面方程, 会判断两平面是否平行、垂直,会求两平 面的夹角及点到平面的距离 ⑥掌握直线方程的各种形式,会求直线方程, 掌握两直线平行、垂直的条件,直线与平面 平行、垂直的条件,两直线的夹角,直线和 平面的夹角 ⑦掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面 和曲线方程概念,了解空间常用二次曲面的标 准方程,会用“截痕法”画出其简图

⑤掌握平面方程的各种形式，会求平面方程， 会判断两平面是否平行、垂直，会求两平 面的夹角及点到平面的距离 ⑥掌握直线方程的各种形式，会求直线方程， 掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面 平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和 平面的夹角 ⑦掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面 和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标 准方程，会用“截痕法”画出其简图

空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向 z竖轴 符合右手系 即以右手握住轴, 当右手的四个手指 定点O 从正向x轴以。角 y纵轴 度转向正向y轴 横轴x 时,大拇指的指向 就是轴的正向 空间直角坐标系

横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点 o • 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合右手系. 即以右手握住z 轴， 当右手的四个手指 从正向x 轴以 2 角 度转向正向y 轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向. 一、空间点的直角坐标

zor 面 J0z面 Ⅱ roy 面 Ⅵ 空间直角坐标系共有八个卦限

Ⅶ x o y z xoy 面 yoz 面 zox 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ

空间的点有序数组(x,y,x 特殊点的表示:坐标轴上的点P,Q,R, 坐标面上的点A,B,C,O(0,0,0) R(0,0,x B(0,y,z) C(x, 0, z) M(d, y, z) Q(0, xP(x,0,0) (x,y,0)

空间的点  ⎯→ 有序数组 (x, y,z) 1−−1 特殊点的表示: O(0,0,0) • M(x, y,z) x y z o P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C

二、空间两点问的距离 设M1(x1,y1,x1)、M2(x2,y2,2)为空间两点 了RN在直角△MM d=M1M,=? Q 及直角△M1PN 中,使用勾股定 y理知 d2=M,P"+PN +NM2

设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 x y z o • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM 二、空间两点间的距离

MP PN=y2-Dlu d Q MM d=M, P2+PN2+ NM, M1M2=√(x2-x)+(2-yn)+(z2-z 空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为M(x,y,z),O(0,0,0) d=OM=√x2+y2+x

,  M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z o • M1 P N Q R •M2

例1求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3) 点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解M1M2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14, MM 213 (5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6, M3M12=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6, M2M3=M3M1,原结论成立

例 1 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 = 2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = = 2 M2M3 (5 7) (2 1) (3 2) 6, 2 2 2 − + − + − = = 2 M3M1 (4 5) (3 2) (1 3) 6, 2 2 2 − + − + − =  M2M3 , = M3M1 原结论成立