北京交通大学：《几何与代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 几何空间中的向量（1.5）平面的方程

第一章几何空间中的向量 第五节平面的方程 平面方程 两平面的位置关系 两平面的夹角 小结

第一章 几何空间中的向量 第五节 平面的方程 • 平面方程 • 两平面的位置关系 • 两平面的夹角 • 小结

15平面的方程 、平面方程 1.点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={4,B,C},M(x,yn,) 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥n→M。M.n=0

1.5 平面的方程 一、 平面方程 x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C},  ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n  必有 0 ⊥  M0M n = 0  1. 点法式方程 n 

MoM=x-xo,y-y0, z-zo3 A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-z0=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x0,y0,z0) 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形

{ , , } 0 0 0 0  M M = x − x y − y z − z  A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形． 其中法向量 n = {A,B,C},  已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z

例1求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,4,6} AC={-2,3,-1 取n=AB×AC={149,-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0

例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC  = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0

例2求过点(1,1,1),且垂直于平面x-y+z=7和 3x+2y-12z+5=0的平面方程 解 {1,-1,1},五2={3,2,-12} 取法向量n=五1Xn2={10,15,5}, 所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0

例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y −12z + 5 = 0的平面方程. {1, 1,1}, n1 = −  {3,2, 12} n2 = −  取法向量 n n1 n2    =  = {10,15,5}, 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解

2.一般式方程 由平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 Ax+ By+C4-(Ao+ Byo + Czo0 D Ax+By+Cz+D=0平面的一般方程 法向量n={A,B,C}

2. 一般式方程 由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0  Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}. 

平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点; (24=0,1D=0.平面通过轴 D≠0,平面平行于x轴; 类似地可讨论B=0,C=0情形 (3)A=B=0,平面平行于oy坐标面; 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形

平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0,     = 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形

例3设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面 4x-y+2z=8垂直,求此平面方程 解设平面为Ax+B+Cz+D=0, 由平面过原点知D=0, 由平面过点(6,-3,2)知6A-3B+2C=0 元⊥{4-1,2},:4A4-B+2C=0 →A=B=--C 3 所求平面方程为2x+2y-3z=0

例 3 设平面过原点及点(6,−3,2)，且与平面 4x − y + 2z = 8垂直，求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0, 由平面过点(6,−3,2)知 6A− 3B+ 2C = 0 n⊥{4,−1,2},   4A− B+ 2C = 0 , 3 2  A = B = − C 所求平面方程为 2x + 2y − 3z = 0. 解

例4设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)(其中a≠0,b≠0,C≠0) 求此平面方程 解设平面为Ax+B+Cz+D=0, a4+D=0 将三点坐标代入得{bB+D=0, cC+D=0 D →A= B= C=

例 4 设平面与x, y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a  0，b  0，c  0）， 求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 将三点坐标代入得      + = + = + = 0, 0, 0, cC D bB D aA D  , a D A = − , b D B = − . c D C = − 解

D 将A 6,. D B DD 代入所设方程得 +y+=1平面的截距式方程 x轴上截距y轴上截距z轴上截距

, a D A = − , b D B = − , c D 将 C = − 代入所设方程得 + + = 1 c z b y a x 平面的截距式方程 x轴上截距 y轴上截距 z轴上截距