吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第三章 矩阵（3.3）分块矩阵

§3.3分块矩阵 本节将把前面对于数字矩阵的讨论推广到 分块矩阵分块矩阵是一种非常有用的工具,使用 分块矩阵可使表达更简洁.分块矩阵主要来自两 个方面:一方面,用一些已知的矩阵矩堆砌砌成分 块矩阵;另一方面,把一个矩阵矩分割分成一个 分块矩阵:假想在一个矩阵的行之间加上一些横 线、列之间加上一些竖线,这样就把一个矩阵分 成了一些小矩阵(称为子块或子矩阵)把每个子 块看成一个“元素”,这个以子块为元素的矩阵就 是一个分块矩阵例如,设

§3.3 分块矩阵 本节将把前面对于数字矩阵的讨论推广到 分块矩阵.分块矩阵是一种非常有用的工具,使用 分块矩阵可使表达更简洁. 分块矩阵主要来自两 个方面:一方面,用一些已知的矩阵矩堆砌砌成分 块矩阵; 另一方面,把一个矩阵矩分割分成一个 分块矩阵: 假想在一个矩阵的行之间加上一些横 线、列之间加上一些竖线, 这样就把一个矩阵分 成了一些小矩阵(称为子块或子矩阵),把每个子 块看成一个“元素”, 这个以子块为元素的矩阵就 是一个分块矩阵.例如, 设

10000 01000 A= 20123 02234 123 令B 则A可写成一个2×2的分快矩阵 (234 0 2×3 A 21 2 B 可根据需要把一个矩阵分成各种各样的分快矩阵,下 面是几种常用的分快方法 1.把A整个分成块此时A就是一个x1的分快矩阵; 2把A的每行(列或若干行(列看成块比如把A按列分 块成4=(a1a2…an),其中表示的第列 上页下 圆回

1 0 000 0 1 000 201 2 3 0 2 234 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 , 2 2 234 B A ⎛ ⎞ = × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 令 则 可写成一个 的分快矩阵 2 2 3 2 0 . 2 I A I B ⎛ ⎞ × ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 可根据需要把一个矩阵分成各种各样的分快矩阵 , 下 面是几种常用的分快方法 ; 1. A把 整个分成一块,此 时A就是一个1 × 1 的分快矩阵; ( ) 1 2 2. A ( ) ( ) , . A A n i = α α " α α i 把 的每一行 列或若干行 列看成一块. 比如,把A按列分 块成 其中 表示 的第 列

3把一个矩阵分成一个2×2的分块方阵(442 /并使是一个方阵 4.把Am的每一个元素看成一块此时A就是一个m×n矩阵 分块矩阵,当然,这和不分块的A是一样的 相加的两个分块矩阵的分块形式必须完全一致; 相乘的两个分块矩阵中,前面矩阵的列的分法和后面矩 阵的行的分法必须完全一致 设A是一个m×n矩阵,B是一个nxp矩阵,而且,对 的列的分法和对B的行的分法一致,则所得的两个 分块矩阵就可和通常的矩阵一样去乘.具体地,设 上页下 圆回

1 2 1 3 4 3. 2 2 , A A A A A ⎛ ⎞ × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 把一个矩阵分成一个 的分块方阵 并使 是一个方阵 m m 4. A , 把 × 的每一个元素看成一块 此时A就是一个m × n矩阵 分块矩阵,当然,这和不分块的A是一样的. . 相加的两个分块矩阵的分块形式必须完全一致; . 相乘的两个分块矩阵中,前面矩阵的列的分法和后面矩 阵的行的分法必须完全一致. , , , , A m n B n p A B 设 是一个 × × 矩阵 是一个 矩阵 而且 对 的列的分法和对 的行的分法一致 则所得的两个 分块矩阵就可和通常的矩阵一样去乘.具体地,设

A 2 m BB B 12 BB B B= BB s 2 B 则A,B作为分块矩阵的乘积是 国园國[回

} } } 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 s s r r rs r A A A m A A A m A A A A m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ "" # # # # " } } } 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 t t s s st s B B B n B B B n B B B B n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ "" # # # # " 则 A B, 作为分块矩阵的乘积是

p1~p2 ≈Pt C11C12 It 21 22 2t}m2 C r1 r2 Crt)mr 其中 n Cn=A1B1y+A2B21+…+AmBn=∑ABy, 1≤i≤r,1≤j≤t 直接验证即知,无论对AB怎样分块,它们作为分块矩 阵的乘积都和原来为分块是的乘积相同,即C=AB 上页下 圆回

P 1 2 P P 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 } } } p p p t t t r r r t r C C C m C C C m C C C C m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " … " # # # # " 其中 1 1 2 2 1 , 1 , 1 . n ij i j i j in nj ik kj k C A B A B A B A B i r j t = = + + + = ≤ ≤ ≤ ≤ " ∑ 直接验证即知，无论对A,B怎样分块，它们作为分块矩 阵的乘积都和原来为分块是的乘积相同，即C=AB

例3.1设是一个m×矩阵,B是一个n×矩阵, C=(c),将8按列分块成B=(RB2…B则有 AB=A(B B2 B)=(461A2…A) 11 C It BC=(61… 国园國[回

( ) 1 2 3.1 , , . ( ), ij s s t A m n B n s C c B B β β β × × × = = " 例 设 是一个 矩阵 是一个 矩阵 将 按列分块成 则有 1 2 1 2 ( ) ( ), AB = = A β β " " βs s Aβ Aβ Aβ ( ) 11 1 1 1 1 1 1 . t s s s i i it i i i s st c c BC c c c c β β β β = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ … " # # "

定义31设4=(a)mxn在中任意取定r(1sr≤m)个行及 s(1≤s≤n)个列则这些行、列的交叉处的元素按它们原来的 相对位置所构成的r×s矩阵就称为舶的一个子块 由舶第,2,…,行和第1,2…,列所确定的子块记为 112 块A 方J… 这里以及以后总设<2<…<,方<2<…<J 由定义可知 上页下 圆回

( ) ( ) ( ) . 1 , . A aij m n A r r m s s n r s A = × ≤ ≤ ≤ ≤ × 定义3.1 设 在 中任意取定 个行及 1 个列 则这些行、列的交叉处的元素按它们原来的 相对位置所构成的 矩阵就称为 的一个子块 1 2 1 2 , , , , , , A i r s 由 的第 i … … i 行和第j j j 列所确定的子块记为 块 1 2 1 2 , r A s i i i j j j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ "" 1 2 1 2 , . r r 这里以及以后总设i i < < < " " i j < j < < j 由定义可知

a a aji 12…ir a a a s 块A = J1J2 anji aijaz∴a 牛·的第第列元素恰为快 ·A的第行为快A 2 简记为块} 国园國[回

块 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 . s s r r r s i j i j i j r i j i j i j A s i j i j i j a a a i i i a a a j j j a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … " " " # # # " A i A i j j ⎧ ⎫ • ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 的第 行第 列元素恰为快 , , 1 2 A A i i A i n ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ • ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ " ⎩ − ⎭ 的第 行为快 简记为块

2…m 舶的第列为|={j}= A的第i,i2,…,i行构成的子块为 i12 In 2 =块 A a 2 n 国园國[回

1 2 1 2 ; j j A A mj a m a A j j j a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎧ ⎫ ⎧ − ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ • = ⎨ ⎬ ⎨ = ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ " # 的第 列为 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,, , _______ r r r r i i i n r i i i n A i i i n A i i i a a a i i i a a a a a a • ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ = ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … " " " " " " " 的第 行构成的子块为 块

·A的第i,j2…,j列构成的子块为 a J2 a. a J2 2 Js A 2 0小5 A本身也是一个子块即A=4 国园國[回

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 ,, , _______ ; s s s s j j j j j j A s mj mj mj A j j j a a a a a a j j j a a a • ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ = ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … # # " # # # # # 的第 列构成的子块为 , A A A ⎧ ⎫−⎪ ⎪ • = −⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 本身也是一个子块 即