吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第一章 多项式（1.6）多项式的根

§1.6多项式的根 余式定理f(x)除以x-c所得的余式等于f(c) 证明因为x-c是一次多项式故由带余除法可知, 它除f(x)所得的余式为常数r,而且,有q(x)∈9Lx] 使得f(x)=(x-c)q(x)+r令x=c,即得,f(c)=r 国园國[回

§1.6 多项式的根 余式定理 f ( ) x x 除以 − c所得的余式等于f ( c ). , ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) . ( ) . x c f x r q x x f x x c q x r x c f c r − Ω = − + = = 证明 因为 是一次多项式 故由带余除法可知, 它除 所得的余式为常数 ,而且,有 使得 令 ,即得, ∈

由余式定理立即可得 推论6.1c是f(x)的根当且仅当x-cf(x) 定义61若x-c是f(x的k重因式,则称C是f(x)的 个k重根,此时,k称为c的重数.1重根称为单根; 斗当k>时,k重根统称为重根 显然,c是f的k重根当且仅当有多项式g(x)使得 f(x)=(x-c)g(x)且g(c)≠0,在计根的个数时,一个 k重根应算成k个根 国园國[回

由余式定理立即可得 推论6.1 c f 是 ( ) x 的根当且仅当 x − c | f ( ) x . 6.1 ( ) ( ) 1 x c f x k c f x k k c k k − > 定义 若 是 的 重因式,则称 是 的 一个 重根,此时, 称 为 的重数.1重根称为单根; 当 时, 重根统称为重根. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, k c f k g x f x x c g x g c k k = − ≠ 显然, 是 的 重根当且仅当有多项式 使得 且 在计根的个数时,一个 重根应算成 个根

命题6.1数域Ω上的m次多项式在Ω中最多有n 个不同的根 证明若f在Ω中没有根则结论成立 否则,设c,…,C是/在中的所有互不相同 的根由推论6.1可得,x-c1|f,i=1,2…,t 牛因为x-c…,x-c两两互质,故由推论32 可知(x-c)…(x-c)f,从而t≤degf 命题62设f(x),g(x)∈x],若对于任意c∈ 均有f(c)=g(c),则f(x)=g(x) 国园國[回

6.1 . 命题 数域Ω上的n n 次多项式在Ω中最多有 个不同的根 1 1 1 , , , | , 1, 2 , . , , ( ) ( )| , deg . t i t t f c c f x c f i t x c x c x c x c f t f Ω Ω − = − − − − ≤ … … … " 证明 若 在 中没有根 则结论成立. 否则,设 是 在 中的所有互不相同 的根.由推论6.1可得, 因为 两两互质,故由推论3.2 可知, 从而 6.2 ( ), ( ) [ ], ( ) ( ), ( ) ( ). f x g x x c f c g c f x g x Ω Ω = = 命题 设 若对于任意 均有 则 ∈ ∈

代数学基本定理每个次数大于0的多项式在 复数域中都有根. 引理6.1设p(x)是数域2上的既约多项式,若p(x) 在中有根,则p(x)必为一次式 斗引理62复数域上的既约多项式恰为一次式 定理61复数域上n(n>0)的次多项式的标准分解为 f(x)=a(x-a1)"(x-a2)"…(x-a1), 其中n1,n2…,n为自然数,n1+n2+…+n1=n,a1a2…,an 为互异的复数. 国园國[回

0 . 代数学基本定理 每个次数大于 的多项式在 复数域中都有根 ( ) ( ) ( ) p x p x p x Ω Ω 引理6.1 设 是数域 上的既约多项式,若 在 中有根,则 必为一次式. 引理6.2 复数域上的既约多项式恰为一次式. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6.1 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , . t n n n t t t t n n f x a x a x a x a n n n n n n n a a a > = − − − + + + = " … " … 定理 复数域上 的次多项式的标准分解为 其中 为自然数 为互异的复数

下面考虑实数域上多项式的标准分解 推论6,2任意n次多项式在复数域中恰有n个根. 引理63实数域上的既约多项式恰为一次式和判别式 小于零的二次式 中证明显然一次式是既约多项式设/是一个判别式 小于零的实二次式假如f有一个真因式g,则g必为 次式,从而有实根,故∫有实根,这与f判别式 小于0矛盾.于是f是既约多项式 国园國[回

下面考虑实数域上多项式的标准分解. 推论6.2 任意n n 次多项式在复数域中恰有 个根. 6.3 . 引理 实数域上的既约多项式恰为一次式和判别式 小于零的二次式 , . f f g g f f f 证明 显然 一次式是既约多项式 设 是一个判别式 小于零的实二次式.假如 有一个真因式 ,则 必为 一次式,从而有实根,故 有实根,这与 的判别式 小于0矛盾.于是 是既约多项式

另一方面,设p∈R[x是既约多项式若p有 实根,则由引理61可知,p是一次式设p无实根, 并将其视为复数域上的多项式则由代数学 基本定理可设p在c中有一个根c因此p(c)=0, 取共轭可得,p()=()=mc)=0故c也是p 的根因此由推论61可知,x-c,x-c都是p的 因式因c∈R,故x-c和x-c互质,从而由推论 3.2可知,它们的积也是p的因式 国园國[回

, [ ] . , 6.1 , . , , . ( ) 0, , ( ) ( ) ( ) 0, . , 6.1 , , , p x p p p p c p c p c p c p c c p x c x c p c x c x c p = = = = − − / − − 另一方面 设 是既约多项式若 有 实根 则由引理 可知 是一次式设 无实根 并将其视为复数域上的多项式 则由代数学 基本定理可设 在 中有一个根 因此 取共轭可得 故 也是 的根因此 由推论 可知 都是 的 因式.因 故 和 互质,从而由推论 3.2可知,它们的积也是 的因式. ∈ R C ∈ R

即有复系数多项式q使得p=(x-c)(x-c)q 取共轭可得,p=(x-c)x-c),其中q表示 将啪的系数取共轭于是必有,q=,即q是一 个实系数多项式注意到是g=(x=Xx=2) =x2-(c+a)x+Cc实系数多项式故p在实数 域上有分解p=8q.因p是既约多项式,故q 必为一个二次式,且无实根,即判别式小于零 国园國[回

2 ( )( ) ( )( ) , ( )( ) ( ) q p x c x c q p x c x c q q q q q q g x c x c x c c x cc p p gq p q = − − = − − = = − − = − + + = 即有复系数多项式 使得 . 取共轭可得, ，其中 表示 将 的系数取共轭.于是必有, 即 是一 个实系数多项式.注意到是 实系数多项式.故 在实数 域上有分解 .因 是既约多项式,故 必为一个二次式,且无实根,即判别式小于零

出定理62实数域上n(m>0)次多项式的标准分解为 f(x)=a(x-a1)…(x-a,)(x2+bx+c)-…(x2+bx+c)", 其中aa,b1,c1∈R,b2-4c1<0,m,n为自然数, 1≤i≤s,1≤j≤t,且m1+…+m+2n1+…+2n=n 上页下 圆回

1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 6.2 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 4 0, , , 1 , 1 , 2 2 . m n m n s t s t t i j j j j j j s t n n f x a x a x a x b x c x b x c a a b c b c m n i s j t m m n n n > = − − + + + + − < ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + + = " " " " 定理 实数域上 次多项式的标准分解为 其中 为自然数 且 ∈ R