吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第一章 多项式（1.5）重因式

§1.5重因式 定义51设p(x)是9上的即约多项式,若有自然数k使 得p(x)4|f(x),但p(x)+f(x),则称p(x)是f(x)的一个 重因式:1重因式称为单因式;当k>时,k重因式统称 为重因式 显然既约多项式p(x)是f(x)的k重因式当且仅当 f(x)=p(x g(x), Hp(x)ig() 国园國[回

§1.5 重因式 1 5.1 ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 1 k k p x k p x f x p x f x p x f x k k + Ω > 定义 设 是 上的即约多项式,若有自然数 使 得 ,但 则称 是 的一个 重因式；1重因式称为单因式；当 时， 重因式统称 为重因式. ? , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). k p x f x k f x = p x g x p x g x 显然 既约多项式 是 的 重因式当且仅当 且 ?

设f(x)=anx+an1x21+…+a1x+an,记 f(x)=nnx”+(n-1)an1x"2+…+a1 则f(x)称为f(x)导式直接验证可得 1.(f+g)=f+g’ 3.(jg)=fg+jg′ 4(f")=mfnf” 国园國[回

1 1 1 0 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( 1) , ( ) ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) . n n n n n n n n n n f x a x a x a x a f x na x n a x a f x f x f g f g cf cf fg f g fg f nf f − − − − − − = + + + + ′ = + − + + ′ + =′ ′ + ′ ′ ′ = ′ ′ = + ′ ′ ′ = " " 设 ,记 则 称为 的导式.直接验证可得 1. 2. 3. 4

定理51设p(x)是f(x)一个既约多项式,则p(x)是f(x)的 k(k21)重因式当且仅当p(x)是f(x)的k重因式(0重因式 理解成不是因式) 证明设∫=pq,q∈9Lx]求导式可得, ∫=ppq+p"q 令h=如q+p,则有=ph注意到1p 于是,是的重因式pq分ppq(由命题4.1) 台p十h分p是f的k-1重因式 国园國[回

5.1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) . p x f x p x f x k k ≥ p x f x k 定理 设 是 一个既约多项式 则 是 的 重因式当且仅当 是 的 重因式(0重因式 理解成不是因式) 1 1 , [ ]. , . , . , ( ) 1 k k k k f p q q x f kp p q p q h kp q pq f p h p p f k p q p p q p h p f k − − = Ω ′ ′ = + ′ = + ′ ′ ′ = ′ ⇔ ⇔ ′ ⇔ ⇔ ′ − 证明 设 求导式可得 令 则有 注意到 于是, 是 的重因式 由命题4.1 是 的 重因式. ∈ ? ? ? ?

推论51设p(x)是一个既约多项式,则p(x)是f(x)的k 重因式当且仅当p(x)是(f(x),f(x)的k1重因式 推论52多项式f(x)没有重因式的充要条件是f(x) 和f(x)互质 下面说明,求标准分解可归结为求无重因式的多项式 的标准分解. 国园國[回

5.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) 1 p x p x f x k p x f x f ′ x k − 推论 设 是一个既约多项式,则 是 的 重因式当且仅当 是 的 重因式. 5.2 ( ) ( ) ( ) . f x f x f x ′ 推论 多项式 没有重因式的充要条件是 和 互质 下面说明,求标准分解可归结为求无重因式的多项式 的标准分解

假设f(x)标准分解为 f=qpp2…p 则由推论可知 (f,f")=p和p2-1…p 从而 (,)y 国园國[回

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 ( ) , ( , ) , . ( , ) t t k k k t k k k t t f x f ap p p f f p p p f ap p p f f − − − = ′ = = ′ " " " 假设 的标准分解为 则由推论可知 从而

例51求多项式f(x)=x3-10x3-20x2-15x-4 的标准分解 解:首先,f的导式为f=5x4-30x2-40x-115 再由辗转相除法可求得 (f,)=x32+3x2+3x+1=(x+1) 用带余除法可求得 f =x2-3x-4=(x-4)x+1) (f,∫) 从而可知f的所有既约因式为x-4,x+1,且由推论5.1 可知,它们分别为f的1重和4重因式,故的标准分解为 f(x)=(x-4)x+1 国园國[回

5 3 2 4 2 3 2 3 2 5.1 ( ) 10 20 15 4 . : , 5 30 40 115. ( , ) 3 3 1 ( 1) . 3 4 ( 4)( 1), ( , ) 4, 1 f x x x x x f f x x x f f x x x x f x x x x f f f x x f = − − − − ′ = − − − ′ = + + + = + = − − = − + ′ − + 例 求多项式 的标准分解 解 首先 的导式为 再由辗转相除法可求得 用带余除法可求得 从而可知 的所有既约因式为 ,且由推论5.1 可知,它们分别为 的 4 ( ) ( 4)( 1) . f f x = −x x + 1重和4重因式,故 的标准分解为