吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第一章 多项式（1.4）因式分解

§1.4因式分解 定义41设p(x)是上的一个次数大于0的多项式如果 p(x)在2x]中没有真因子则称是既约多项式(不可约 多项式或质式) 设p是一个既约多项式,是任意多项式,则(p,f)是 p的因式,从而(p,f)=1或p=c(p,f,c∈g因此p利f 的关系是:(p,f)=1或p|f 命题41设p(x)是Ω上的即约多项式,若p(x)整除 多项式f(x)…,fn(x)之积,则p(x)必能整除其中之一 国园國[回

4.1 ( ) 0 . ( ) , p x p x Ω Ω 定义 设 是 上的一个次数大于 的多项式如果 在 [x]中没有真因子 则称是既约多项式(不可约 多项式或质式). , ( , ) 1 ( , ), . ( , ) 1 | . p f p f p p f p c p f c p f p f p f = = Ω = 设 是一个既约多项式, 是任意多项式，则( )是 的因式,从而 或 因此 和 的关系是: 或 ∈ §1.4 因式分解 1 4.1 ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) n p x p x f x f x p x Ω … 命题 设 是 上的即约多项式，若 整除 多项式 之积,则 必能整除其中之一

"因式分解唯一定理次数大于0的多项式可分解成有限 个既约多项式之积,而且对于f(x)的任意两个这样的分解 f(x)=P1(x)p2(x)…P,(x)=q1(x)2(x)…q、(x) 必有s=1,且交换因式次序并重置下标后可使 p(x)=a1q1(x),a1∈g2,i=1l,, 标准分解定理Ω上的次数大于0的多项式f(x)均有如下分解 f(x)ap,(x)"p2(x)2.p,(x 其中a为2中的非零常数,p(x)…,p(x)为互异的首项系数为的 即约多项式k1…,k为自然数,它们都是由唯一确定的 上页下 圆回

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), , 1, , . s t i i i i f x f x p x p x p x q x q x q x s t p x a q x a i s = = = = Ω = " " … 因式分解唯一定理 次数大于0的多项式可分解成有限 个既约多项式之积,而且对于 的任意两个这样的分解 必有 ,且交换因式次序并重置下标后可使 ∈ 1 2 1 2 1 1 0 ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ), , ( ) 1 , , , , t k k k t t t f x f x ap x p x p x a p x p x k k Ω = Ω " … … 标准分解定理 上的次数大于 的多项式 均有如下分解 其中 为 中的非零常数 为互异的首项系数为 的 即约多项式 为自然数 它们都是由唯一确定的