吉林大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第二章 行列式 §2.5 Cramer法则

§2.5 Cramer法则 设有n个元方程组成的方程组 x1+a2x2+…+a1nxn=b c211+a2x2+…+a2n n (5.1) ·。· la,* +an2x2++amr,=b 其系数构成的阶行列式 上页

§2.5 Cramer法则 设有 n个元方程组成的方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ⎧ + + + = ⎪ ⎪ + + + = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ + + + = " " """" " 其系数构成的 n阶行列式 (5.1)

2 In D 21 2 n n2 称为此方程组的系数行列式 Cramer法则设线性方程组的系 数行列式D≠0,则方程组有唯一一组 解 D x (53) D 2D’¨ D 国园國[回

Cramer法则 设线性方程组的系 数行列式D ≠ 0 ,则方程组有唯一一组 解 1 2 1 2 , , , n n D D D x x x D D D = = … = (5.3) 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = " " # # # " 称为此方程组的系数行列式

其中D是把D的第k列元素分别换成常 数项b,b2…,bn而得到的行列式,即 1k-1 1k+1 2k-1 nk-1 b 其中k=1,2,,n 上页

其中Dk是把D的第k列元素分别换成常 数项 1 2 , , , n b b … b 而得到的行列式,即 11 1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 1 1 2 1 1 1 , k k n k k n k n nk n nk nn a a b a a a a b a a D a a b a a − + − + − + = # # # # # # # # # # # # # 其中k n =1,2,…,

证明首先证明(53)是方程组(52) 的解将(53)代入(52)的第一个方程 可得, 2+ +……+a1 D D 12 D D D ∑a1Dk D lk jk 国园國[回

证明 首先证明(5.3)是方程组(5.2) 的解.将(5.3)代入(5.2)的第一个方程 可得, 1 2 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n k k k n n k j jk k j D D D a a a D D D a D D a b A D = = = + + + = = ∑ ∑ ∑

nn D ∑∑abAk /=1k=7 D ∑b∑qkAk D2b,o =6 故(53)满足(52)的第一个方程.同理可验 证(53)也满足(52)的其它方程.于是(53) 是(52)的解 国园國[回

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . n n k j j k j k n n j k j k j k n j j j a b A D b a A D b D b δ = = = = = = = = = ∑∑ ∑ ∑ ∑ 故(5.3)满足(5.2)的第一个方程. 同理可验 证(5.3)也满足(5.2)的其它方程. 于是(5.3) 是(5.2)的解

现在证明方程组的解只有(53) 设x1=G1灬…,xn=Cn是的解代入可 得 C1C1+a12C+…+a1nC,= n n a1+a22+…+a2n=h n1C1+ anc t.+ac= 202 b n nn n 于是, 上页

现在证明方程组的解只有(5.3). 设 1 1, , n n x c = … x = c 是的解.代入可 得 11 1 12 2 1 1 21 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . n n n n n n n n n n a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b ⎧ + + + = ⎪ ⎪ + + + = ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ + + + = " " """" " 于是

同理可得,Dc2=D2,,Dcn=D故 D D D D 国园國[回

同理可得, 2 2 , , . Dc D D n n = … c = D 故, 1 2 1 2 , , , . n n D D D c c c D D D = = … =

例5.1解方程组 2x+y=0 3x-y+2z=1, 2x+y-2z2=2 程组的系数行列式 210 D=3-12|=8 国园國[回

例5.1 解方程组 2 0 3 2 1, 2 2 2 x y x y z x y z ⎧ + = ⎪⎨ − + = ⎪⎩ + − = 方程组的系数行列式 解 2 1 0 3 1 2 8, 2 1 2 D = − = −

而且, 010 200 D1=1-12=6,D2=312=-4 21-2 222 210 D 3:13-11=-10 212 由 Cramer法则可知方程组的解为 x 4J= 2 5 国园國[回

而且, 3 2 1 0 3 1 1 10. 2 1 2 D = − = − 1 2 0 1 0 2 0 0 1 1 2 6, 3 1 2 4, 2 1 2 2 2 2 D D = − = = = − − 由Cramer法则可知方程组的解为 3 1 4 , , . 4 2 5 x y = = − z = −