同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第七章 向量代数与空间解析几何（7.6）平面及其方程

平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本 节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线 的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、 线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式,但在解析 几何中最基本的条件是:平面过一定点且与定向量 垂直。这主要是为了便于建立平面方程,同时我们 将会看到许多其它条件都可转化为此 先介绍平面的点法式方程

平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本 节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线 的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、 线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析 几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量 垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们 将会看到许多其它条件都可转化为此。 先介绍平面的点法式方程

、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 M 该平面的法线向量 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={4,B,C},M(x,y 0909 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥n→MMn=0

x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C},  ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n  必有 0 ⊥  M0M n = 0  一、平面的点法式方程 n 

M0M={x-x0,y-y0,z-x0} A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-z0)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x0,y0,z0) 若取平面的另一法向量m 此时由于mM→m=A={24,B,C} 平面方程为 礼4(x-x0)+B(y-y0)+C(z-x0)=0 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形

{ , , } 0 0 0 0  M M = x − x y − y z − z  A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 其中法向量 n = {A,B,C},  已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z 若取平面的另一法向量 m  此时由于 m n   //  m = n = A,B,C   平面方程为 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0  A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．

例1求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,4,-6} AC={-2,3,-1 取n=AB×AC={14,9,-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0

例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC  = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0

一般地 过不共线的三点 M1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,2)M3(x3,y3,z3) 的平面的法向量 万=M1M2×M1M3=x2-x1y2-y1z2 平面方程为 x-1 y-y1 3-31 三点式方程 J3-y13-z

一般地 过不共线的三点 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 2 2 2 2 M x y z ( , , ) 3 3 3 3 M x y z 的平面的法向量 n = M1M2  M1M3  3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z i j k − − − = − − −    平面方程为 0 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 = − − − − − − − − − x x y y z z x x y y z z x x y y z z ——三点式方程

例2求过点(1,1,1),且垂直于平面x-y+z=7和 3x+2y-12z+5=0的平面方程 解n1={1,-1,1},n2={3,2,-12} 取法向量n=x2={10,155}, 所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0

例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y − 12z + 5 = 0的平面方程. {1, 1,1}, n1 = −  {3,2, 12} n2 = −  取法向量 n n1 n2    =  = {10,15,5}, 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解

二、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 Ax+By+Cd-(Axo+ Byo +Czo)0 D Ax+By+Cz+D=0平面的一般方程 法向量n={A,B,C}

由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0  Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}.  二、平面的一般方程

平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点; D=0,平面通过x轴; (2)A=0, 1D≠0,平面平行于x轴; 类似地可讨论B=0,C=0情形. (3)A=B=0,平面平行于oy坐标面; 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形

平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0,     = 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形

例3设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面 4x-y+2z=8垂直,求此平面方程 解设平面为Ax+By+Cz+D=0, 由平面过原点知D=0, 由平面过点(6,-3,2)知6A-3B+2C=0 n{4,-1,2}, 44-B+2C=0 →A=B 3 所求平面方程为2x+2y-3z=0

例 3 设平面过原点及点(6,−3,2)，且与平面 4x − y + 2z = 8垂直，求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0, 由平面过点(6,−3,2)知 6A− 3B+ 2C = 0 n⊥{4,−1,2},   4A− B+ 2C = 0 , 3 2  A = B = − C 所求平面方程为 2x + 2y − 3z = 0. 解

例4设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)(其中a≠0,b≠0,C≠0), 求此平面方程 解设平面为Ax+By+Cz+D=0, a4+D=0 将三点坐标代入得{bB+D=0, cC+D=0 D B= C

例 4 设平面与x, y,z三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a  0，b  0，c  0）， 求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 将三点坐标代入得      + = + = + = 0, 0, 0, cC D bB D aA D  , a D A = − , b D B = − . c D C = − 解