同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第九章 二重积分（9.1）二重积分的概念和性质

二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中,我们已经知道,定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限,由于科学技术和生产实践的发 展,需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量、重心、转动惯量等,定积分已经 不能解决这类问题,另一方面,从数学逻辑思维 的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广,从 而提出了多元函数的积分学问题

二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发 展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经 不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维 的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从 而提出了多元函数的积分学问题

当人们把定积分解决问题的基本思想—“分 割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问 题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象 概括出来,就得到多元函数积分学。 具体地说就是推广到:定义在平面区域上的二元 函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段 平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧 上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数,从 而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。 这就是多元函数积分学的内容。 本章将讨论重积分,包括二重积分、三重积分的 概念、性质、计算和应用

当人们把定积分解决问题的基本思想——“分 割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问 题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象 概括出来，就得到多元函数积分学。 具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元 函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段 平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧 上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从 而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。 这就是多元函数积分学的内容。 本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的 概念、性质、计算和应用

重点:重积分的计算方法,交换累次积分次序。 难点:选择坐标系,确定积分次序,定积分限。 基本要求 ①理解重积分概念,了解其基本性质 ②熟练掌握重积分的计算方法 ③掌握累次积分的换序法 ④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元 ⑤理解重积分的实际背景,能用重积分解决立体体 积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题

重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。 难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。 基本要求 ①理解重积分概念，了解其基本性质 ②熟练掌握重积分的计算方法 ③掌握累次积分的换序法 ④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元 ⑤理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体 积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题

问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点:平顶 z=f(x,y 柱体体积=? 特点:曲顶 D 曲顶柱体

一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. z = f (x, y) D 柱体体积=？ 特点：曲顶

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和 取极限”的方法,如下动画演示

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．

步骤如下: 先分割曲顶柱体的底z ,并取典型小区域, f(x,y) 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积, (5;,m) △o 曲顶柱体的体积v=im∑f(5,m)△σ

步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， x z y o D z = f (x, y)  i • ( , ) i i  先分割曲顶柱体的底 ，并取典型小区域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f     =   = → 曲顶柱体的体积

2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 P(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 ②(5,n) 看作均匀薄片, △ 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量M=lim∑p(5,m)△a

２．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 x y o ( , )  i i  i lim ( , ) . 1 0 i i n i M   i    =   = →

二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△a1 △a2,…,△an,其中△G表示第i个小闭区域, 也表示它的面积,在每个Δσ;上任取一点 (5;,m;) 作乘积f∫(5,1)△σ (i=1,2,…,n) 并作和∑∫(51,m)△a

二、二重积分的概念 定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ，  2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个  i 上 任 取 一 点 ( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i  f    = ( , ) 1

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)da, D 即(xGIm∑,m)a i=1 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 表达式 元分 域数量 素和

如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f     =   = → lim ( , ) 1 0 . 积分区域 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 积分和

对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的. (2)当∫(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 由二重积分的定义可知若二重积分 ∫/(x,)d=lim∑/(5,m)0存在 D 九→0i=1

对二重积分定义的说明： (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值． 由二重积分的定义可知 若二重积分   → = = n i i i i D o f x y d f 1 ( , ) ( , )  lim     存在