同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第七章 向量代数与空间解析几何（7.5）空间曲线及其方程

间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 F(x,y,z)=0 G(x,y:)=0 空间曲线的一般方程 特点:曲线上的点都满足 方程,满足方程的点都在 曲线上,不在曲线上的点 不能同时满足两个方程

空间曲线及其方程    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y S1 S2 C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 一、空间曲线的一般方程

2 2=1 例1方程组 表示怎样的曲线? 2x+3J+3z=6 解x2+y2=1表示圆柱面, 2x+3y+3z=6表示平面, 2x+3y+3z=6 交线为椭圆

例1 方程组 表示怎样的曲线？    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3y + 3z = 6 表示平面，    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆

a -x 例2方程少(2y2a2表示怎样的曲线? 解 上半球面, 2)2+y2=4圆柱面 交线如图

例2 方程组 表示怎样的曲线？      − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图

、空间曲线的参数方程 x=x(t) y=()空间曲线的参数方程 z=(t) 当给定t=t1时,就得到曲线上的一个点 (x1,y1,x1),随着参数的变化可得到曲线上的全 部点

     = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 当给定 1 t = t 时，就得到曲线上的一个点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线上的全 部点. 空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程

例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以 角速度绕轴旋转,同时又以线速度沿平行玉 轴的正方向上升(其中、ν都是常数),那么点 M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程 解 取时间t为参数,动点从A点出 发,经过|时间,运动到M点 M在xoy面的投影M'(x,y,0) x= acos ot y=asina Z= vt M 螺旋线的参数方程

动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 例 3 如果空间一点M 在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． A • M M M在xoy面的投影M( x, y,0) x = acost y = asint z = vt t 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o

螺旋线的参数方程还可以写为 x=acos e y=asing z=66 (0=at, 6=v 螺旋线的重要性质: 上升的高度与转过的角度成正比 即 6:→bn+a,z:b→bbn+ba a=2π,上升的高度h=2b兀螺距

螺旋线的参数方程还可以写为      = = =    z b y a x a sin cos ( , )    v = t b = 螺旋线的重要性质： : ,   0 → 0 + : , z b 0 → b 0 + b 上升的高度与转过的角度成正比． 即  = 2, 上升的高度 h = 2b 螺距

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程: F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去变量后得:H(x,y)=0 曲线关于Oy的投影柱面 投影柱面的特征 以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面

   = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量z后得： H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 三、空间曲线在坐标面上的投影

如图:投影曲线的研究过程 空间曲线 投影柱面 投影曲线

如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

空间曲线在xOy面上的投影曲线 ∫H(x,y)=0 类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 J0z面上的投影曲线,xO面上的投影曲线, ∫R(y,z)=0 T(x,z)=0 x=0 y=0

类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线,    = = 0 ( , ) 0 z H x y 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线

x2+y2+x2=1 例4求曲线 在坐标面上的投影 解(1)消去变量后得 2 3 x十 J 在Oy面上的投影为 3 x ty= 0.5 0

例4 求曲线 在坐标面上的投影.      = + + = 2 1 1 2 2 2 z x y z 解 （1）消去变量z后得 , 4 2 2 3 x + y = 在 xoy 面上的投影为 , 0 4 2 2 3      = + = z x y